Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.В данной задаче Вам предстоит исследовать негармонические колебания шарика в V-образном желобе. Желоб в штативах должны установить организаторы олимпиады предварительно. Экспериментальная установка должна выглядеть как на рисунке 1. Искривлением желоба в изгибе при выводе уравнений пренебречь. Под полным колебанием будем понимать движение шарика из точки O в точку C и возврат в точку D. Угол наклона желоба
1.1 Получите уравнение зависимости между периодом колебания T и амплитудой
Нарисуй продольный разрез желоба и обозначь путь шарика по одной стороне от вершины до крайней точки амплитуды. Подумай, как меняется вдоль этой стороны проекция силы тяжести, отвечающая за движение шарика.
Считай движение по одной стороне равномерно ускоренным с постоянным модулем ускорения вдоль поверхности: вдоль направления движения действует составляющая тяжести
- Обозначь время спуска (или подъёма) по одной стороне как
и путь вдоль стороны равным амплитуде .
- Обозначь время спуска (или подъёма) по одной стороне как
- Запиши кинематическое соотношение для равномерно ускоренного движения между
, и .
- Запиши кинематическое соотношение для равномерно ускоренного движения между
- Свяжи период полного колебания
с (учти число одинаковых отрезков движения в полном цикле).
- Свяжи период полного колебания
- Выразите
из полученной системы уравнений.
- Выразите
1.1 Движение шайбы по гладкой V-образной поверхности будет представлять собой незатухающие колебания. Движение шайбы будет равноускоренным с модулем ускорения
где
Тогда период колебаний
1.2 Экспериментально исследуйте зависимость периода первого колебания шарика по V-образному желобу от начальной амплитуды
1.2 Результаты экспериментального исследования зависимости
Таблица 1
| Повторные измерения | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 1,83 | 1,85 | 1,87 | 1,84 | 1,80 | 1,84 |
| 10 | 2,43 | 2,41 | 2,39 | 2,40 | 2,47 | 2,42 |
| 15 | 2,97 | 2,93 | 2,91 | 3,01 | 2,93 | 2,95 |
| 20 | 3,42 | 3,38 | 3,45 | 3,34 | 3,41 | 3,40 |
| 25 | 3,82 | 3,83 | 3,80 | 3,84 | 3,81 | 3,82 |
| 30 | 4,23 | 4,20 | 4,18 | 4,25 | 4,24 | 4,22 |
| 35 | 4,47 | 4,48 | 4,45 | 4,44 | 4,55 | 4,48 |
| 40 | 4,74 | 4,77 | 4,80 | 4,72 | 4,77 | 4,76 |
| 45 | 5,02 | 5,02 | 5,06 | 4,99 | 5,01 | 5,02 |
| 50 | 5,34 | 5,39 | 5,37 | 5,36 | 5,33 | 5,36 |
2023-2024 учебный год
1.3 Используя результаты полученные в п.1.2, обоснуйте, можно ли применять физическую модель движения шайбы по гладкой V-образной поверхности к колебаниям шарика по V-образному желобу. (*Подсказка: проверьте графически, подтверждается или нет уравнение, полученное Вами в п.1.1).
1.3 Исходя из уравнения (5), построим график линеаризованной зависимости
Таблица 2
| 5,0 | 2,24 | 1,84 |
| 10,0 | 3,16 | 2,42 |
| 15,0 | 3,87 | 2,95 |
| 20,0 | 4,47 | 3,40 |
| 25,0 | 5,00 | 3,82 |
| 30,0 | 5,48 | 4,22 |
| 35,0 | 5,92 | 4,48 |
| 40,0 | 6,32 | 4,76 |
| 45,0 | 6,71 | 5,02 |
| 50,0 | 7,07 | 5,36 |
График 1. Зависимость
Применяя метод наименьших квадратов (можно применять простую графическую обработку, но она оценивается «дешевле»), определим коэффициенты линеаризованной зависимости и их абсолютные погрешности (таблица 3). Если данные коэффициенты совпадут с точностью до погрешности со значением коэффициентов в уравнении (5), то модель движения шайбы по гладкой V-образной поверхности можно применять к колебаниям шарика по V-образному желобу, в противном случае — нельзя.
2023-2024 учебный год
Таблица 3
| 5 | 2,24 | 1,84 | |
| 10 | 3,16 | 2,42 | |
| 15 | 3,87 | 2,95 | |
| 20 | 4,47 | 3,40 | |
| 25 | 5,00 | 3,82 | |
| 30 | 5,48 | 4,22 | |
| 35 | 5,92 | 4,48 | |
| 40 | 6,32 | 4,76 | |
| 45 | 6,71 | 5,02 | |
| 50 | 7,07 | 5,36 | |
| Сред. знач. | 5,02 | 3,83 | |
| Дисперсия | 2,26 | 1,21 | |
| Ковариация | 1,65 | ||
| 0,73 | |||
| 0,15 | |||
| 0,02 | |||
| 0,09 |
Получили: угловой коэффициент наклона усредняющей прямой
свободное слагаемое
Коэффициент пропорциональности
Основной вклад в погрешность данного коэффициента будет вносить высота сторон V-образного желоба над поверхностью стола. В авторском эксперименте данная величина
Как видим интервалы погрешностей коэффициентов
2023-2024 учебный год
значит модель движения шайбы по гладкой V-образной поверхности нельзя применять к колебаниям шарика по V-образному желобу.
2.1 Исследуйте экспериментально зависимость начальной амплитуды от порядкового номера колебания
Отмечай и измеряй амплитуды каждой последовательной полу- или полной осцилляции (в условии — начальные амплитуды каждого полного колебания). Делай несколько повторов для устойчивой оценки.
Для каждой порядковой позиции i усредни повторные измерения амплитуды и оцени её погрешность; затем построй график
- Запусти колебание с заданной начальной амплитудой и измерь амплитуды первых нескольких колебаний
в каждой повторности.
- Запусти колебание с заданной начальной амплитудой и измерь амплитуды первых нескольких колебаний
- Для каждого номера i вычисли среднее значение
и погрешность по повторностям.
- Для каждого номера i вычисли среднее значение
- Построй график
с погрешностями и проверь характер уменьшения амплитуд (монотонность, разброс).
- Построй график
- Выразите
с погрешностью для каждого i из полученных данных.
- Выразите
2.1 Результаты экспериментального исследования зависимости начальной амплитуды от порядкового номера колебания
Таблица 4
| Номер колебания N | Повторные измерения | , см | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 50,0 | 50,0 | 50,0 | 50,0 | 50,0 | 50,0 |
| 1 | 39,0 | 39,0 | 39,5 | 38,5 | 39,0 | 39,0 |
| 2 | 30,0 | 29,5 | 30,0 | 30,0 | 30,5 | 30,0 |
| 3 | 24,0 | 24,0 | 23,5 | 23,5 | 24,0 | 23,8 |
| 4 | 18,5 | 18,0 | 18,5 | 19,0 | 18,5 | 18,5 |
| 5 | 14,5 | 15,0 | 14,5 | 14,0 | 14,5 | 14,5 |
| 6 | 12,0 | 12,0 | 12,0 | 11,5 | 11,5 | 11,8 |
| 7 | 9,0 | 9,5 | 9,0 | 9,0 | 9,0 | 9,1 |
| 8 | 8,0 | 8,0 | 7,5 | 7,5 | 8,0 | 7,8 |
| 9 | 6,5 | 6,5 | 6,5 | 6,0 | 6,0 | 6,3 |
| 10 | 5,5 | 5,5 | 5,0 | 5,5 | 5,5 | 5,4 |
| 11 | 5,0 | 5,0 | 5,0 | 4,5 | 5,0 | 4,9 |
| 12 | 4,0 | 4,0 | 4,5 | 4,0 | 4,0 | 4,1 |
2.2 Используя результаты полученные в п.2.1, подтвердите или опровергните справедливость уравнения (1) для колебаний шарика по V-образному желобу. Определите декремент затухания. Вычислите погрешности.
2.2 Представим уравнение (1) в виде
Построим график зависимости
| 39,0 | 50,0 |
| 30,0 | 39,0 |
| 23,8 | 30,0 |
| 18,5 | 23,8 |
| 14,5 | 18,5 |
| 11,8 | 14,5 |
| 9,1 | 11,8 |
| 7,8 | 9,1 |
| 6,3 | 7,8 |
| 5,4 | 6,3 |
| 4,9 | 5,4 |
| 4,1 | 4,9 |
Из графика видим, что экспериментальные точки легли вблизи усредняющей прямой, которая проходит через начало координат, что
2023-2024 учебный год
подтверждает прямопропорциональную зависимость
Применяя метод наименьших квадратов, определим декремент затухания как угловой коэффициент наклона усредняющей прямой (график 2) и вычислим абсолютную погрешность (таблица 5).
Таблица 5
| A(i+1), см | Ai, см | |
|---|---|---|
| 39,0 | 50,0 | |
| 30,0 | 39,0 | |
| 23,8 | 30,0 | |
| 18,5 | 23,8 | |
| 14,5 | 18,5 | |
| 11,8 | 14,5 | |
| 9,1 | 11,8 | |
| 7,8 | 9,1 | |
| 6,3 | 7,8 | |
| 5,4 | 6,3 | |
| 4,9 | 5,4 | |
| 4,1 | 4,9 | |
| Среднее зн. | 14,6 | 18,4 |
| Дисперсия | 115 | 195 |
| Ковариация | 149 | |
| 1,28 | ||
| ΔD | 0,02 |
Относительная погрешность
2.3 Окончательный результат запишите в виде
Итоговый результат должен быть в форме усреднённого декремента с оценкой погрешности, готовой к записи в отчёт.
Возьми найденные оценки D из разных методов/пар (например, среднее по отношениям и наклон регрессии) и вычисли среднее значение и стандартную погрешность среднего; учти систематические вклады при необходимости.
- Собери все индивидуальные оценки
и/или значение D от регрессии с их погрешностями.
- Собери все индивидуальные оценки
- Вычисли среднее
и оценку случайной погрешности (стандартную ошибку среднего).
- Вычисли среднее
- Оцени возможную систематическую погрешность и объединённую погрешность
(сложением по правилам распространения).
- Оцени возможную систематическую погрешность и объединённую погрешность
- Выразите конечный результат в виде
.
- Выразите конечный результат в виде
2.3
2023-2024 учебный год
3.1 Получите уравнение зависимости
3.1 Если бы желоб был гладкий и по нему двигалась шайба, то она двигалась бы с ускорением
где
Период первого колебания будет равен сумме временных интервалов необходимых для последовательного прохождения следующих расстояний: амплитуда
Обозначим
3.2 Исследуйте экспериментально зависимость периода колебания от угла наклона желоба
3.2 Результаты экспериментального исследования зависимости периода колебания от угла наклона желоба
2023-2024 учебный год
Таблица 6
| Величины, необходимые для вычисления |
Повторные измерения | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Высота |
Гипотенуза |
Период |
||||||
| 19 | 492 | 0,039 | 7,03 | 6,96 | 6,95 | 7,01 | 6,95 | 6,98 |
| 39 | 492 | 0,079 | 5,32 | 5,39 | 5,35 | 5,34 | 5,40 | 5,36 |
| 57 | 492 | 0,116 | 4,43 | 4,46 | 4,43 | 4,41 | 4,47 | 4,44 |
| 77 | 492 | 0,157 | 3,87 | 3,91 | 3,90 | 3,88 | 3,89 | 3,89 |
| 97 | 492 | 0,197 | 3,46 | 3,48 | 3,50 | 3,47 | 3,49 | 3,48 |
| 111 | 492 | 0,226 | 3,13 | 3,12 | 3,15 | 3,10 | 3,15 | 3,13 |
| 130 | 492 | 0,264 | 2,89 | 2,85 | 2,89 | 2,86 | 2,86 | 2,87 |
| 149 | 492 | 0,303 | 2,80 | 2,82 | 2,78 | 2,83 | 2,82 | 2,81 |
| 165 | 492 | 0,335 | 2,45 | 2,40 | 2,50 | 2,44 | 2,51 | 2,46 |
| 178 | 492 | 0,362 | 2,22 | 2,29 | 2,20 | 2,26 | 2,28 | 2,25 |
3.3 Используя результаты полученные в п.3.2, проверьте, подтверждается или нет зависимость, полученная Вами в п.3.1.
3.3 Построим график линеаризованной зависимости
Вычислим значения выражения
Таблица 7
| 0,039 | 5,09 | 6,98 |
| 0,079 | 3,55 | 5,36 |
| 0,116 | 2,94 | 4,44 |
| 0,157 | 2,53 | 3,89 |
| 0,197 | 2,25 | 3,48 |
| 0,226 | 2,11 | 3,13 |
| 0,264 | 1,95 | 2,87 |
| 0,303 | 1,82 | 2,81 |
| 0,335 | 1,73 | 2,46 |
| 0,362 | 1,66 | 2,25 |
Как видно из графика 3, уравнению (11) соответствуют точки удовлетворяющие неравенству
2023-2024 учебный год



