1.1 Прямой метод решения предполагает нахождение проекции каждой силы на соответствующую ось и дальнейшее суммирование проекций по каждой из осей.

Однако задачу можно решить проще (и короче!) если заметить, что в данной системе разность противоположных по направлению сил (70 Н и 10 Н, 80 Н и 20 Н и т.д.) попарно остается постоянной и равной Н.

Это обстоятельство позволяет упростить систему до шести симметричных сил с модулем (Рис. 01), сумма которых будет направлена вдоль оси симметрии и равна

Согласно второму закону Ньютона, ускорение материальной точки будет также направлено вдоль прямой (под углом к оси ) и равно

Расчет по (2) с точностью до двух значащих цифр дает

Интересно, что значение (3) для «совпало» со значением , используемом на централизованном тестировании (), хотя в этом задании мы его не учитывали

1.2 По определению равнодействующая равна сумме всех сил, действующих на материальную точку

Заметим, что модули сил, действующих на материальную точку, образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Следовательно, для модуля силы справедлива формула

Кроме того, при арифметической прогрессии для любых соседних членов и выполняется равенство

Для практического использования свойства (6) на векторной диаграмме выполним три шага (Рис. 02). Шаг первый: поменяем направление каждого вектора на противоположное (т.е. умножим каждый вектор на (-1), при этом он поворачивается на ).

Шаг второй: повернём обращенную систему сил как целое на угол против часовой стрелки (См. Рис. 02).

— здесь и далее: в фигурных скобках представлены (без размерности!) показания инженерного калькулятора (например, CASIO fx-991EX (CLASSWIZ)) при правильном расчёте.

Шаг третий: наложим полученную после двух шагов систему сил на исходную систему сил так, чтобы их центры совпали. При этом вектор попадет на вектор , вектор попадет на вектор и т.д., а вот вектор попадет на начальный вектор .

Из (6) следует, что после суммирования наложенных векторов получится система из равных по модулю векторов , повернутых на угол друг относительно друга, и вектор , параллельный оси (Рис. 03). Вектор можно представить как

По правилу многоугольника теперь сумма одинаковых по модулю векторов , повернутых на угол друг относительно друга, равна нулю. Следовательно, согласно (7), после наложения двух систем «останется» только вектор , направленный против оси .

Изобразим на векторной диаграмме (Рис. 04) все сказанное: отложим вектор , далее после первого шага, далее после второго шага. Их сумма (третий шаг) должна давать вектор , отмеченный пунктиром.

По правилу сложения векторов получаем равнобедренный векторный треугольник (см. Рис. 04), из которого можем записать

где – модуль равнодействующей силы.

Интересно, что модуль равнодействующей не зависит от , а определяется только разностью арифметической прогрессии и количеством ее членов. Это и понятно, по тому же правилу многоугольника векторная сумма всех членов равна нулю.

Напомним, что для задания вектора помимо модуля (8) необходимо также обязательно определить и его направление в плоскости рисунка. На практике для этого достаточно найти угол, образуемый данным вектором с какой либо осью или отрезком.

В нашем случае удобно найти угол , образованный искомым вектором с осью , (см. Рис. 04).

Из равнобедренного треугольника сил, учитывая, что и углы при основании равны, найдем

Выражения (8) и (9) полностью задают искомый вектор , приложенный к материальной точке (где ).

Для модуля ускорения материальной точки окончательно получаем

причем вектор будет направлен под углом

к оси ().

1.3 Для вычислений с использованием (10) и (11) из условия задачи найдем необходимые параметры: ; Н . После подстановки получаем

Сравнивая (12) и (13) с (2) и (3), не только испытываешь чувство удовлетворения (физика – наука точная!), но и понимаешь, насколько труднее получить общее решение по сравнению с частным, отдельным случаем. Но это всегда гораздо престижнее… ☺

1.1 Прямой метод решения предполагает нахождение проекции каждой силы на соответствующую ось и дальнейшее суммирование проекций по каждой из осей.

Однако задачу можно решить проще (и короче!) если заметить, что в данной системе разность противоположных по направлению сил (70 Н и 10 Н, 80 Н и 20 Н и т.д.) попарно остается постоянной и равной Н.

Это обстоятельство позволяет упростить систему до шести симметричных сил с модулем (Рис. 01), сумма которых будет направлена вдоль оси симметрии и равна

Согласно второму закону Ньютона, ускорение материальной точки будет также направлено вдоль прямой (под углом к оси ) и равно

Расчет по (2) с точностью до двух значащих цифр дает

Интересно, что значение (3) для «совпало» со значением , используемом на централизованном тестировании (), хотя в этом задании мы его не учитывали

1.2 По определению равнодействующая равна сумме всех сил, действующих на материальную точку

Заметим, что модули сил, действующих на материальную точку, образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Следовательно, для модуля силы справедлива формула

Кроме того, при арифметической прогрессии для любых соседних членов и выполняется равенство

Для практического использования свойства (6) на векторной диаграмме выполним три шага (Рис. 02). Шаг первый: поменяем направление каждого вектора на противоположное (т.е. умножим каждый вектор на (-1), при этом он поворачивается на ).

Шаг второй: повернём обращенную систему сил как целое на угол против часовой стрелки (См. Рис. 02).

— здесь и далее: в фигурных скобках представлены (без размерности!) показания инженерного калькулятора (например, CASIO fx-991EX (CLASSWIZ)) при правильном расчёте.

Шаг третий: наложим полученную после двух шагов систему сил на исходную систему сил так, чтобы их центры совпали. При этом вектор попадет на вектор , вектор попадет на вектор и т.д., а вот вектор попадет на начальный вектор .

Из (6) следует, что после суммирования наложенных векторов получится система из равных по модулю векторов , повернутых на угол друг относительно друга, и вектор , параллельный оси (Рис. 03). Вектор можно представить как

По правилу многоугольника теперь сумма одинаковых по модулю векторов , повернутых на угол друг относительно друга, равна нулю. Следовательно, согласно (7), после наложения двух систем «останется» только вектор , направленный против оси .

Изобразим на векторной диаграмме (Рис. 04) все сказанное: отложим вектор , далее после первого шага, далее после второго шага. Их сумма (третий шаг) должна давать вектор , отмеченный пунктиром.

По правилу сложения векторов получаем равнобедренный векторный треугольник (см. Рис. 04), из которого можем записать

где – модуль равнодействующей силы.

Интересно, что модуль равнодействующей не зависит от , а определяется только разностью арифметической прогрессии и количеством ее членов. Это и понятно, по тому же правилу многоугольника векторная сумма всех членов равна нулю.

Напомним, что для задания вектора помимо модуля (8) необходимо также обязательно определить и его направление в плоскости рисунка. На практике для этого достаточно найти угол, образуемый данным вектором с какой либо осью или отрезком.

В нашем случае удобно найти угол , образованный искомым вектором с осью , (см. Рис. 04).

Из равнобедренного треугольника сил, учитывая, что и углы при основании равны, найдем

Выражения (8) и (9) полностью задают искомый вектор , приложенный к материальной точке (где ).

Для модуля ускорения материальной точки окончательно получаем

причем вектор будет направлен под углом

к оси ().

1.3 Для вычислений с использованием (10) и (11) из условия задачи найдем необходимые параметры: ; Н . После подстановки получаем

Сравнивая (12) и (13) с (2) и (3), не только испытываешь чувство удовлетворения (физика – наука точная!), но и понимаешь, насколько труднее получить общее решение по сравнению с частным, отдельным случаем. Но это всегда гораздо престижнее… ☺