Годограф

Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2024 10 класс № 2

Годографом вектора называется кривая, представляющая собой множество концов переменного со временем вектора , начало которого (Рис. 1) для всех есть фиксированная точка («Математический энциклопедический словарь»). Иными словами годограф вектора представляет собой множество точек, по которым «движется» конец данного вектора со временем, если положение его начала зафиксировать в некоторой точке .

Справедливости ради отметим, что школьники косвенно знакомы с данным понятием, поскольку годографом радиус-вектора () движущейся материальной точки является ... её траектория, отмеченная на рисунке 1 пунктирной линией. Годограф вектора наглядно представляет его эволюцию с течением времени, а также используется при различных расчетах.

Часть 1. Вычисление полного ускорения

1.1 Небольшой массивный шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, отклонили так, что нить стала горизонтальна и аккуратно отпустили без натяжения нити (рис. 2). При движении шарик будет приобретать как центростремительное (нормальное) ускорение , направленное вдоль нити, так и касательное (тангенциальное) ускорение, направленное перпендикулярно нити (см. рис. 2). Сумма называется полным ускорением тела. Найдите зависимости модулей ускорений и от угла , образованного нитью с вертикалью. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения .

1.2 Найдите зависимость модуля полного ускорения шарика от угла в процессе движения до нижней точки траектории.

1.3 Поскольку вектор полного ускорения шарика поворачивается со временем, то в некоторый момент он будет горизонтален. Найдите полное ускорение шарика и угол между нитью и вертикалью в этот момент времени.

1.1 от угла :

от угла :

1.2 Зависимость модуля полного ускорения :

1.3 :

Часть 2. Построение годографа полного ускорения шарика

2.1 Найдите зависимости проекций и полного ускорения шарика от угла в стандартной (декартовой) системе координат. Выразите их в безразмерных единицах и .

2.2 Чему равен модуль максимального горизонтального ускорения шарика в процессе движения до низшей точки траектории? Максимального вертикального ускорения ?

10 класс. Теоретический тур. Вариант 2.

2.3 Разбейте прямой угол на интервалы по градусов и вычислите проекции ускорений и для точек в диапазоне . Результаты вычислений занесите в Таблицу 1 (см. ниже).

2.4 Пользуясь Таблицей 1, постройте на выданном бланке годограф полного ускорения шарика при его движении до нижней точки траектории.

2.5 Проанализируйте построенный годограф, отметьте его существенные особенности и попытайтесь описать их математически (например, получить уравнение, описывающее полученную кривую).

Лист ответов. Задание 10-2. Годограф

Таблица 1. Вычисление и .