1.1 В момент, когда нить составляет угол с горизонтом, шарик опустился на высоту (рис. 1), где – длина нити. Согласно закону сохранения механической энергии (потерь нет) для движения шарика массой можем записать

где – скорость шарика в рассматриваемый момент, направленная по касательной к дуге. Следовательно, нормальное (центростремительное) ускорение шарика на нерастяжимой нити в данной точке

На шарик действуют сила тяжести и сила упругости нити (см. рис. 1), следовательно, второй закон Ньютона в проекциях на текущее направление нити и по касательной к ней примет вид

С учетом (2) из системы (3) находим выражения для касательного ускорения и силы упругости нити

1.2 Соответственно, полное ускорение шарика в данный момент найдем с помощью теоремы Пифагора и выражений (2) и (4)

Как следует из (5), в начальный момент времени () полное ускорение шарика равно ускорению свободного падения и направлено вниз. Таким образом, пока нить не натянулась, шарик практически свободно падает в течение малого промежутка времени. Поскольку при этом центростремительное ускорение шарика равно нулю (он ещё не успел набрать скорость), то полное ускорение равно касательному ускорению и равно .

При прохождении шариком нижней точки траектории () равно нулю касательное ускорение, а его полное ускорение имеет максимальное значение и направлено вверх. В этом случае оно совпадает с центростремительным ускорением. Заметим, что сила натяжения нити при этом максимальна и равна (направлена вверх).

Угол , который составляет вектор полного ускорения с горизонтом, найдем из параллелограмма ускорений на рисунке 2

1.3 В момент, когда вектор полного ускорения шарика горизонтален , следовательно

Подставляя полученное значение угла в формулу для полного ускорения (5), находим искомое значение для горизонтального ускорения шарика

1.1 В момент, когда нить составляет угол с горизонтом, шарик опустился на высоту (рис. 1), где – длина нити. Согласно закону сохранения механической энергии (потерь нет) для движения шарика массой можем записать

где – скорость шарика в рассматриваемый момент, направленная по касательной к дуге. Следовательно, нормальное (центростремительное) ускорение шарика на нерастяжимой нити в данной точке

На шарик действуют сила тяжести и сила упругости нити (см. рис. 1), следовательно, второй закон Ньютона в проекциях на текущее направление нити и по касательной к ней примет вид

С учетом (2) из системы (3) находим выражения для касательного ускорения и силы упругости нити

1.2 Соответственно, полное ускорение шарика в данный момент найдем с помощью теоремы Пифагора и выражений (2) и (4)

Как следует из (5), в начальный момент времени () полное ускорение шарика равно ускорению свободного падения и направлено вниз. Таким образом, пока нить не натянулась, шарик практически свободно падает в течение малого промежутка времени. Поскольку при этом центростремительное ускорение шарика равно нулю (он ещё не успел набрать скорость), то полное ускорение равно касательному ускорению и равно .

При прохождении шариком нижней точки траектории () равно нулю касательное ускорение, а его полное ускорение имеет максимальное значение и направлено вверх. В этом случае оно совпадает с центростремительным ускорением. Заметим, что сила натяжения нити при этом максимальна и равна (направлена вверх).

Угол , который составляет вектор полного ускорения с горизонтом, найдем из параллелограмма ускорений на рисунке 2

1.3 В момент, когда вектор полного ускорения шарика горизонтален , следовательно

Подставляя полученное значение угла в формулу для полного ускорения (5), находим искомое значение для горизонтального ускорения шарика

2.1 Для удобства построения годографа вектора ускорения шарика перейдём к декартовым координатам , изображенным на рисунке 3 (с учетом знаков). Тогда проекции полного ускорения шарика примут вид

Для формализации процесса расчёта введем удобные безразмерные единицы измерения ускорений, имеющие очевидный смысл

Тогда расчетные формулы для заполнения таблицы примут вид

2.2 Как следует из анализа рисунка 3, максимальное (по модулю) горизонтальное ускорение шарика равно . Это же, кстати, следует и из формулы (9) при . Максимальное же вертикальное ускорение шарик приобретает в нижней точке траектории (), которой соответствует верхняя точка графика на рисунке 3.

2.3 Расчёт по формулам даёт следующие результаты

Таблица 1. Вычисление и .
Рис. 3. Построение годографа ускорения на бланке.

2.4 Удивительно, но несмотря на достаточно сложный характер рассматриваемого движения, график на рисунке 3 напоминает траекторию движения самого шарика! Действительно, точки неплохо «ложатся» на полуокружность радиуса с центром в точке с координатами . Убедимся в справедливости сделанного предположения.

2.5 Поскольку уравнение окружности радиуса с центром в точке с координатами имеет вид

то для доказательства справедливости сделанного предположения достаточно проверить тождественность равенства (13) при любых

Используя (11) приведём (13) к виду

После избавления от знаменателя и раскрытия скобок из (14) находим

Приводя подобные, и сокращая, упростим выражение (15) следующим образом

Собирая полный квадрат, с учётом основного тригонометрического тождества
, выражение (16) примет вид

Далее «немного удачи» при перегруппировке членов и вынесении за скобки

позволяют ещё раз довести дело до основного тригонометрического тождества и до ... победного конца



Легко догадаться (хотя и не требуется в условии задачи), что при движении шарика в левой полуплоскости, на годографе ускорения мы получим симметричную полуокружность, замыкающую траекторию до полной окружности. Далее с разворотом все повторяется вновь против часовой стрелки.
Поскольку центр окружности находится в точке с координатами , то в неинерциальной системе отсчёта, движущейся с ускорением , направленным вверх, вектор полного ускорения неравномерно вращается по рассмотренной окружности, сохраняя свою длину.
Таким образом, искомый годограф полного ускорения шарика представляет собой полуокружность (совершенно «случайно» изображенную в условии задачи, ☺) радиусом со сдвинутым (относительно начала координат) центром (рис. 4).

2.1 Для удобства построения годографа вектора ускорения шарика перейдём к декартовым координатам , изображенным на рисунке 3 (с учетом знаков). Тогда проекции полного ускорения шарика примут вид

Для формализации процесса расчёта введем удобные безразмерные единицы измерения ускорений, имеющие очевидный смысл

Тогда расчетные формулы для заполнения таблицы примут вид

2.2 Как следует из анализа рисунка 3, максимальное (по модулю) горизонтальное ускорение шарика равно . Это же, кстати, следует и из формулы (9) при . Максимальное же вертикальное ускорение шарик приобретает в нижней точке траектории (), которой соответствует верхняя точка графика на рисунке 3.