Задача 10-3 — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2000 10 класс № 3

Задачу удобно решать во вращающейся неинерциальной системе отсчета, связанной с центром диска. В этой системе необходимо учитывать центробежную силу инерции , направленную радиально от оси вращения. (Заметим, что, в принципе, можно решать и в инерциальной системе отсчета.)

При раскручивании диска действие центробежной силы приведет к тому, что нити, удерживающие шарики, будут все время натянуты. Следовательно, они будут двигаться по дугам окружностей вокруг точки

, а силы трения будут направлены перпендикулярно нитям.
Пусть угловая скорость вращения диска равна

. Определим области положения равновесия шариков. В проекции на направление перпендикулярное нити условие равновесия можно записать в виде (см. рисунок, сила натяжения нити за ненадобностью не показана)

Учитывая, что треугольник

равнобедренный, расстояние до центра можно выразить в простом виде

, тогда уравнение (1) преобразуется к виду

Сила трения покоя удовлетворяет условию

. Поэтому условие равновесия шарика при заданной угловой скорости вращения имеет вид

или

При

в любом положении на рассматриваемой окружности шарик будет находится в равновесии. При дальнейшем увеличении угловой скорости область равновесия будет сужаться (на рис. заштрихована). Таким образом, когда угловая скорость достигнет величины

первый шарик сдвинется с места и с увеличением скорости вращения будет смещаться вслед за границей области устойчивости. Когда угловая скорость

достигнет величины , начнет движение второй
шарик, а первый в это время будет находится в точке . Сразу после
начала движения второй шарик попадает в область отсутствия
равновесия и, следовательно, также устремится к точке , где
догонит первый шарик. Дальше они будут двигаться вместе. Таким
образом, угол между нитями подчиняется следующим
закономерностям

п р и п р и п р и

← Подсказки

Решение

Похожие задачи