Задача 10.1.1

Условие равновесия цепи в проекции на вертикальное направление имеет вид

где - сила натяжения цепи в крайних точках и равная ей сила, с которой надо удерживать веревку. Для определения угла между касательной к цепи и горизонтом необходимо знать форму, которую принимает цепь под действием силы тяжести. Решение этой проблемы известно, но достаточно сложно. В данном случае расстояние между концами цепи немного меньше ее длины. Поэтому цепь изогнута слабо, ее профиль можно

Отметим, что в линейном приближении различие между длиной дуги и стягивающей ее хорды отсутствует, поэтому необходимо использовать приближение следующего порядка.

Из формул (3) –(2) получаем соотношение

Обозначим , где - малый безразмерный параметр, согласно условию задачи . С использованием этого удобного обозначения значения искомого угла определяется формулой

Теперь из формулы (1) определяем значение силы

что больше половины веса веревки.

Для того чтобы оценить работу по выпрямлению веревки можно проинтегрировать выражение для силы в зависимости от параметра (учитывая, что , )

Дополнения.

1. Отметим, что для полного выпрямления веревки необходимо приложить бесконечно большую силу: из формулы (6) следует, что при . Тем не менее, работа, совершенная при выпрямлении веревки, конечна.*

1. Задача может быть решена и в более грубом приближении: если форму веревки считать в виде двух отрезков прямой линии.

В этом приближении зависимость угла наклона приложенной к веревке силы определяется из очевидного выражения .

Так как угол наклона мал, то допустимо использовать приближенную формулу . Тогда искомый угол описывается формулой* *, которая с точностью до постоянного коэффициента совпадает с использованной в решении формулой (5). Отличие между этими выражениями менее, чем в два раза, поэтому обе полученные оценки можно считать вполне приемлемыми.*

Задача 10.1.2

Если мысленно заменить верхнюю пружину нерастяжимой веревкой, то под действием силы , направленной вниз, нить через гладкий блок растянет нижнюю пружину вверх на величину

Поскольку нить нерастяжима, то на такую же величину опустится конец веревки.

Из условия равновесия конца веревки следует, что сила натяжения нити при этом .

где — абсолютная деформация верхней пружины. Следовательно, в положении равновесия нижний конец верхней пружины (центр блока) опустится на .

Поскольку при опускании центра блока на «освободится» участок нити длиной , то результирующее смещение вниз конца нити с учетом деформаций обеих пружин составит

Для касания веревкой земли должно быть выполнено условие

Расчет дает

Поскольку при меньшем значении силы конец веревки не дотянет до земли (колебания в системе отсутствуют), то (1) дает искомое значение

Дополнение.

Решение данной задачи можно сделать и покороче. Обозначим - деформацию нижней пружины. Тогда из условия равновесия блока и закона Гука следует, что деформация верхней пружины должна быть в два раза больше . Далее из условия не растяжимости веревки, переброшенной через блок, следует, что ее конец опустится на расстояние . Наконец, искомая сила натяжения веревки равна силе упругости нижней пружины, то есть

Впрочем, эти элементарные выкладки нуждаются в физических обоснованиях, приведенных в основном решении.

Поскольку электрическое сопротивление пропорционально длине проводника, то можем заметить, что сопротивление каждого следующего вложенного квадрата меньше сопротивления предыдущего в раз

Преобразуем цепь, разорвав ее в эквипотенциальных точках и (Рис.2), лежащих на оси симметрии фрактала. Это не изменит искомого сопротивления фрактала, поскольку по «разорванным» малым перемычкам ток все равно не идет из-за отсутствия напряжения на них.

Однако теперь можем заметить, что цепь между точками и (см. рис. 2) также представляет собой бесконечный фрактал, начальный размер которого ровно в два раза меньше размера исходного фрактала.

Следовательно, в силу (1) (примененного дважды!), сопротивление цепи между указанными точками также в два раза меньше искомого сопротивления «большого» фрактала

С учетом (2) электрическую схему можно перечертить в виде, представленном на рис. 3.

Для дальнейшего преобразования схемы представим сопротивление как два параллельно соединенных сопротивления , и вновь, в силу симметрии цепи, разорвем полученную схему в эквипотенциальных точках и . В результате получим еще более упрощенный вариант цепи фрактала, представленный на рис. 4.

Так для расчета сопротивления цепи между точками и используем правила расчета для параллельного сопротивления

где (сопротивление большой стороны фрактала) для удобства обозначено через .

Из (3) находим

Соответственно, сопротивление участка цепи найдем по правилам последовательного соединения

Поскольку верхняя и нижняя части полученной цепи симметричны, то окончательное выражение для нахождения сопротивления фрактала принимает вид

Относительно (6) представляет собой квадратное уравнение

решения которого находим сравнительно легко (у нас получилось всего лишь с третьей попытки!).

Отрицательный корень () отбрасываем сразу, как не имеющий физического смысла. Окончательно

Расчет по (7) дает численное значение сопротивления цепи бесконечного квадратного фрактала