Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
Оптико-механическая аналогия - это сходство траектории движения частицы в потенциальном силовом поле с траекторией лучей в оптически неоднородной среде. Траектория материальной точки и траектория светового луча совпадают при определенном соответствии потенциальной энергии и переменного в пространстве показателя преломления среды. Этот факт был теоретически открыт выдающимся ирландским математиком и физиком У. Р. Гамильтоном в 1834 году и уже в нашем столетии оказал влияние на установление связи между волновой оптикой и волновой (квантовой) механикой.
В данном задании вам предстоит рассмотреть два примера аналогия между оптикой и механикой.
Тело брошено с начальной скоростью
1.1 Запишите закон движения тела, т.е. зависимость его координат времени
Нарисуй систему координат и отметь направление ускорения и начальную скорость тела.
Запиши уравнения равноускоренного движения для проекций скорости и координат вдоль осей.
- Выдели вдоль Ox и Oy проекции начальной скорости
. - Запиши для каждой оси уравнение координаты как функцию времени при постоянном ускорении.
- Поставь нулевую начальную координату в точке старта (если задано) и запиши
и . - Выразите
и из полученной системы.
1.1 Решение данной части задачи хорошо известно. Так как ускорение направлено вдоль оси
1.2 Запишите уравнение траектории движения тела
1.2 Уравнение траектории получим, исключив из закона движения время
После упрощения получим функцию
описывающую параболическую траекторию движения.
1.3 Определите дальность полета тела и максимальную высоту его подъема.
Вспомни, при каком значении вертикальной координаты заканчивается полёт и где достигается максимальная высота.
Найди дальность из условия пересечения траектории с землёй (
- Подставь
в уравнение траектории и реши относительно для ненулевого корня — это дальность. - Найди время, при котором вертикальная составляющая скорости равна нулю, используя
. - Подставь это время в
, чтобы получить максимальную высоту. - Выразите дальность полёта и
из полученных соотношений.
1.3 Выражения для дальности полета и максимальной высоты подъема также хорошо известны:
1.4 Покажите, что в любой точке траектории движения тела угол
где
Подумай, как связаны направление касательной к траектории и компоненты скорости в этой точке.
Используй соотношение между углом касательной и проекциями скорости и закон сохранения энергии для модуля скорости.
- Запиши синус угла
через горизонтальную проекцию скорости и модуль скорости : (соотношение проекции и угла). - Отметь, что
сохраняется вдоль движения, так как на него не действует ускорение. - Запиши
через из сохранения механической энергии (или из скоростей по осям). - Выразите функцию
так, чтобы соотношение выполнялось.
1.4 Можно заметить, что произведение модуля скорости на синус угла
Таким образом, искомой функцией
Таким образом, уравнение (1), приведенное в условии задачи, может быть записано в виде
1.5 Предложите алгоритм построения траектории по произвольной известной зависимости угла
2. Луч света в слоисто-неоднородной среде.**
где
1.5 Основная идея заключается в разбиении траектории на малые участки, предпочтительнее постоянной длины 
*Примечание. Можно показать, что задание функции
2. Луч света в слоисто-неоднородной среде.
Запишем закон преломления света в слоисто неоднородной среде
И подставим выражение для зависимости показателя преломления от координаты
Это уравнение полностью совпадает с уравнением (5), определяющим траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту.
Заметим, что в механике аналогом показателя преломления служит модуль скорости тела – неожиданный результат: там, где в оптике скорость луча возрастает, в механике должна убывать!
Для полного соответствия между уравнениями (5) и (7) следует положить
Следовательно, траектория луча, описываемая уравнением (7), также является параболой, с параметрами, определяемыми формулами (3). Поэтому для решения данной части задачи достаточно переписать формулы (4) с соответствующей заменой (8)
Найти подобным образом расстояние, на котором луч выйдет из бруска затруднительно.
3. Круговая орбита.
2.1 На какую максимальную глубину проникнет луч света в брусок?
Подумай, что происходит с углом луча по мере уменьшения показателя преломления с глубиной в бруске.
Применяй закон сохранения для слоистой среды в форме
- Запиши постоянство величины
вдоль траектории луча. - Поставь в это соотношение
(крайний случай, когда луч становится горизонатльным внутренне отражаемым) для максимальной глубины. - Подставь выражение
и реши относительно при указанном пределе. - Выразите максимальную глубину проникновения
из полученного уравнения.
2.2 На каком расстоянии от точки входа луч выйдет из бруска?
3. Круговая орбита.**
Спутник движется с постоянной по модулю скоростью
3.1 Определите радиус орбиты спутника.
Подумай, какие силы действуют на спутник и как они связаны с движением по круговой орбите.
Применяй второй закон Ньютона для движения по круговой траектории и закон всемирного тяготения для силы притяжения.
- Запиши равенство центростремительного ускорения
и гравитационного ускорения . - Вырази массу планеты через ускорение свободного падения на поверхности
при необходимости. - Подставь это выражение в соотношение центростремительной силы и упрость.
- Выразите радиус орбиты
из полученного соотношения.
3.1 При движении по круговой орбите выполняется соотношение, следующее из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:
Из этих выражений определяем соотношение между скоростью спутника и радиусом его круговой орбиты
Откуда радиус орбиты
3.2 По неизвестной причине в некоторый момент времени направление
вектора скорости спутника изменилось на небольшой угол, при этом модуль скорости не изменился. При этом, очевидно, орбита стала эллиптической. Найдите зависимость модуля скорости спутника от его расстояния до центра планеты
Подсказка. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух точечных тел определяется по формуле
где
3.2 Зависимость скорости спутника от его расстояния до центра можно выразить из закона сохранения энергии
С учетом соотношений (11) и (12), формула для скорости приобретает вид
3.3 Найдите изменение модуля скорости спутника
3.3 Искомое соотношение проще вычислить, с помощью производной
3.4 Покажите, что когда спутник находится на расстоянии
4. Луч света в осесимметричной неоднородной среде.**
Цилиндр изготовлен из прозрачного материала, но показатель преломления материала, из которого он изготовлен, медленно уменьшается с увеличением расстояния до его оси по закону
где 
Подставь в линейное соотношение точку круговой орбиты и упрость, учитывая свойства этой орбиты.
Используй выражение для
- Возьми результат для
из пункта 3.3 и подставь и . - Воспользуйся соотношением, связывающим
, , и , чтобы упростить выражение. - Приведи дроби к общему виду и упрость алгебраически.
- Выразите отношение
в форме, показывающей равенство из полученной системы.
3.4 Полагая
что и требовалось доказать.
4. Луч света в осесимметричной неоднородной среде.
Проводя аналогию между оптикой и механикой (показатель преломления аналогичен скорости тела!), можно утверждать, что условием возможности существования кругового луча является условие
Используя заданную зависимость показателя преломления от радиуса
Теперь из условия (18) определяем искомый радиус кругового луча
Примечание. Основное условия существования кругового луча (18) может быть получено и без использования оптико-механической аналогии. Фронт этого луча должен поворачиваться так, чтобы оставаться направленным радиально. Это возможно в том случае, если выполняется условие
Учитывая, что в «оптике»
Похожие задачи
Хорошо ли Вы знаете закон преломления света?
Показатель преломления воздуха зависит как от температуры, так и от давления. Будем считать, что в наших условиях показатель преломления зависит …
У Р Б П ≈5/5 Т1
Задача 9-1
У
Р
Б
П
≈5/5
Т2
Короткий толчок
Если на тело действует некоторая сила в течение малого промежутка времени
Задача 10-1
Задача 1. (20 баллов) В физике при описании сложных процессов достаточно широко используются различные простейшие модели. Одной из них является …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Скатывание без проскальзывания
Существует множество задач, в которых брусок движется по наклонной плоскости при наличии трения. В зависимости от коэффициента трения и угла наклона …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Торможение спутника
Рассмотрим движение искусственного спутника Земли в верхних слоях атмосферы. Наличие атмосферного «хвоста» приводит к тому, что на спутник действует …
У Р Б П ≈5/5