1.1 Решение данной части задачи хорошо известно. Так как ускорение направлено вдоль оси , то закон равноускоренного движения имеет вид

1.2 Уравнение траектории получим, исключив из закона движения время :

После упрощения получим функцию

описывающую параболическую траекторию движения.

1.3 Выражения для дальности полета и максимальной высоты подъема также хорошо известны:

1.4 Можно заметить, что произведение модуля скорости на синус угла является проекцией скорости на горизонтальную ось : , которая остается неизменной в процессе движения, так как нет внешних сил, изменяющих эту проекцию скорости.

Таким образом, искомой функцией может служить модуль скорости тела, который может быть найден из закона сохранения энергии

Таким образом, уравнение (1), приведенное в условии задачи, может быть записано в виде

1.5 Основная идея заключается в разбиении траектории на малые участки, предпочтительнее постоянной длины . Допустим, мы нашли точку траектории с координатами . По известной зависимости угла координаты , можно рассчитать угол, под которым будет направлен следующий малый участок траектории . Координаты конца очередного отрезка рассчитываются по формулам

При заданных начальных координатах эта процедура позволяет однозначно построить всю траекторию движения. Таким образом, зависимость однозначно определяет траекторию движения.

*Примечание. Можно показать, что задание функции позволяет записать дифференциальное уравнение, имеющее однозначное решение.

2. Луч света в слоисто-неоднородной среде.

Запишем закон преломления света в слоисто неоднородной среде

И подставим выражение для зависимости показателя преломления от координаты

Это уравнение полностью совпадает с уравнением (5), определяющим траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Заметим, что в механике аналогом показателя преломления служит модуль скорости тела – неожиданный результат: там, где в оптике скорость луча возрастает, в механике должна убывать!

Для полного соответствия между уравнениями (5) и (7) следует положить

Следовательно, траектория луча, описываемая уравнением (7), также является параболой, с параметрами, определяемыми формулами (3). Поэтому для решения данной части задачи достаточно переписать формулы (4) с соответствующей заменой (8)

Примечание. Максимальную глубину проникновения света в брусок, можно найти из условия полного внутреннего отражения. На максимальной глубине проникновения , поэтому

Найти подобным образом расстояние, на котором луч выйдет из бруска затруднительно.

3. Круговая орбита.

3.1 При движении по круговой орбите выполняется соотношение, следующее из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:

Массу планеты можно выразить из формулы для ускорения свободного падения на поверхности планеты

Из этих выражений определяем соотношение между скоростью спутника и радиусом его круговой орбиты

Откуда радиус орбиты

3.2 Зависимость скорости спутника от его расстояния до центра можно выразить из закона сохранения энергии

С учетом соотношений (11) и (12), формула для скорости приобретает вид

3.3 Искомое соотношение проще вычислить, с помощью производной

3.4 Полагая , получим, что . В этом случае из формулы (16) следует

что и требовалось доказать.

4. Луч света в осесимметричной неоднородной среде.

Проводя аналогию между оптикой и механикой (показатель преломления аналогичен скорости тела!), можно утверждать, что условием возможности существования кругового луча является условие

Используя заданную зависимость показателя преломления от радиуса , найдем

Теперь из условия (18) определяем искомый радиус кругового луча

Примечание. Основное условия существования кругового луча (18) может быть получено и без использования оптико-механической аналогии. Фронт этого луча должен поворачиваться так, чтобы оставаться направленным радиально. Это возможно в том случае, если выполняется условие

Учитывая, что в «оптике» (из которого следует ), получим