Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
Согласно «теории» Антуана де Сент Экзюпери к нам на Землю прилетал Маленький Принц. Родиной героя являлась малая планета, судя по всему – астероид. Примем за родину Маленького принца Астероид со следующими характеристиками:
Астероид движется вокруг Солнца по круговой орбите радиусом
Астероид представляет собой шар радиусом
Средняя плотность вещества Астероида
Справочные данные. Среднее расстояние от Земли до Солнца называют астрономической единицей
Год на Земле длится
Справка. В Солнечной системе между орбитами Марса и Юпитера существует пояс астероидов (звездоподобных, малых планет). В 2000 году каталог зарегистрированных астероидов насчитывал 18200 астероидов, из которых почти 9 тыс. имеют персональное название. Чтобы показать реальность наших допущений, приведем параметры известного астероида «Отто Шмидт», у которого большая полуось орбиты
1.1 Сколько времени длится год на Астероиде Маленького Принца?
Представь, как меняется сила притяжения Солнца на телах, движущихся по круговым орбитам разного радиуса; что определяет длительность года?
Используй закон всемирного тяготения и равновесие центростремительного ускорения для движения по круговой орбите; это приведёт к соотношению между периодом обращения и радиусом орбиты.
- Запиши уравнение равенства гравитационной силы и центростремительной силы для тела на орбите радиуса
с периодом . - Выведи из этого уравнения зависимость
в общем виде (зависимость от ). - Подставь радиусы орбит Земли и астероида и получи соотношение между
и . - Вырази
из получённого соотношения.
1.1 По второму закону Ньютона (с учетом закона всемирного тяготения)
где
1.2 Допустим, что наименьшее расстояние от этого Астероида до Земли было 1 января 2009 года, рассчитайте, когда опять расстояние между нашими планетами станет наименьшим. Чему оно равно?
Когда расстояние между Землёй и астероидом минимально, все три центра (Солнце, Земля, астероид) лежат на одной линии; какой элемент относительного движения надо рассмотреть дальше?
Рассмотри относительную угловую скорость двух тел на орбитах с разными периодами и используй правило для времени, за которое относительная фаза изменится на
- Запиши угловые скорости Земли и астероида через их периоды:
. - Найди относительную угловую скорость
и запиши время между совпадениями фаз как . - Подставь выражения для
и и упростить дробь до вида с произведением периодов. - Вырази интервал времени до следующего близкого сближения и затем вычисли минимальное расстояние как разность радиусов орбит.
1.2. Наименьшее расстояние между астероидом и Землей будет, когда Солнце, Земля и Астероид установятся на одной прямой (точка 1 на рис.). При этом расстояние между Астероидом и Землей равно
Следующий раз такая ситуация повторится, когда Земля в своем движении вокруг Солнца обгонит астероид на угол
Следовательно, время движения можно рассчитать по формуле
Таким образом, следующий раз минимальное расстояние между Землей и Астероидом случится через 1,33 года, т.е. примерно 1 мая 2010 года.
1.3 Чему равно ускорение свободного падения на этом Астероиде?
Нарисуй тело на поверхности астероида и отметь направление и точку приложения всех сил. Подумай, какие свойства астероида (геометрия, плотность) будут влиять на величину ускорения падения на поверхности.
Запиши закон всемирного тяготения в общем виде для силы притяжения между астероидом и телом и приравняй эту силу к массе тела, умноженной на искомое ускорение
- Запиши равенство
. - Вырази массу астероида как
и объём шара как . - Подставь выражение для
в уравнение силы и сократи на . - Выразите
из полученной системы.
1.3. На любое тело, на поверхности Астероида, действует сила всемирного тяготения, сообщающая ему ускорение
Масса Астероида выражается через его плотность
Подстановка формулы для массы в формулу (5) и последующий расчет приводит к результату
1.4 Чему равна первая космическая скорость для этого Астероида?
Первая космическая скорость — это скорость, при которой тело движется по круговой орбите на высоте, равной радиусу астероида; какая сила обеспечивает центростремительное ускорение?
Приравняй центростремительную силу
- Запиши равенство
. - Упрость его до выражения
в общем виде. - Подставь ранее найденное значение
при необходимости. - Вырази первую космическую скорость
из полученной формулы.
1.4. Первая космическая скорость соответствует скорости движения по круговой орбите с радиусом, равным радиусу астероида, поэтому
1.5 Гуляя по планете, маленький принц при помощи пружинных весов обнаружил, что вес тел на экваторе планеты меньше, чем на полюсе на
Разница в весе между экватором и полюсом связана с центробежным эффектом из-за собственных суток планеты; что уменьшает вес на экваторе?
Используй баланс между гравитационной силой и центробежным ускорением: вес на экваторе равен
- Запиши вес на полюсе
и на экваторе . - Вырази относительную разницу
. - Подставь
и преобразуй до вида, связывающего с и . - Вырази период суток
из полученной формулы.
1.5. Вес тела на полюсе планеты численно равен силе тяжести, действующей на тело
На экваторе планеты вес тела уменьшается из-за суточного вращения планеты, поэтому на экваторе вес тела оказывается равным
Следовательно, относительное изменение веса тела равно
Из этой формулы следует, что период обращения Астероида вокруг собственной оси (т.е. сутки) рассчитывается по формуле
1.6.1 На какую высоту подпрыгнет Маленький Принц на астероиде, если на Земле он подпрыгивает вверх на высоту
Нарисуй вертикальную траекторию прыжка и отметь начальную скорость и высшую точку. Подумай, какая величина при прочих равных определяет, как высоко поднимется тело.
Свяжи начальную кинетическую «запасённую» способность подняться с максимально достижимым подъёмом: кинетическая энергия при старте переходит в потенциальную энергию на вершине (или эквивалентное уравнение движения для подъёма при постоянном ускорении).
- Запиши выражение, связывающее начальную скорость прыжка
и высоту подъёма на Земле (не вычисляя чисел). - Применив то же выражение к Астероиду, запиши аналогичную связь между тем же
и искомой высотой , подставив там соответствующее ускорение свободного падения . - Воспользуйся значением
, полученным в решении (формула для и численное значение), и подставь его в соотношение из пункта 2. - Выразите
из полученной системы.
1.6.1 Высота прыжка рассчитывается по известной формуле
Так как начальная скорость прыжка одинакова на Земле и Астероиде, то высота прыжка оказывается обратно пропорциональной ускорению свободного падения, поэтому высота прыжка на Астероиде будет равна
1.6.2 Оцените, на сколько процентов уменьшится ускорение свободного падения на максимальной высоте прыжка на Астероиде.
1.6.2 Ускорение свободного падения на высоте
здесь
Таким образом, относительное уменьшение ускорения свободного падения равно
1.6.3 Оцените, какую относительную ошибку вы допустили в п. 1.6.1, считая ускорение свободного падения не зависящим от высоты над поверхностью астероида.
1.6.3 Уточнить найденную приближенно высоту прыжка можно, заменив в формуле (13) ускорение свободного падения на поверхности на среднее значение ускорения на поверхности и на найденной максимальной высоте, то есть положить
Таким образом, учет зависимости ускорения свободного падения от высоты приводит к увеличению высоты примерно на
Небольшое дополнение.*
Пункт 1.6 может быть решен точно при использовании закона сохранения энергии и формулы для энергии гравитационного взаимодействия тел
Решить данное уравнение не сложно:
Похожие задачи
Гигантомания
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач на одну тему.
Во всех задачах следует пренебрегать:
• взаимодействием тел с Солнцем и …
Неоднородное гравитационное полевар. 2
Сила гравитационного взаимодействия зависит от расстояния между взаимодействующими телами. Поэтому гравитационные поля, в общем случае, являются …
У Р Б П ≈3/5 Т3
Космический вальс
В классическом вальсе партнеры кружатся вокруг друг друга и одновременно движутся по кругу. В космическом вальсе - Земля и Луна вращаются вокруг …
У Р Б П ≈4/5 Т1
Системы единиц
- В атомной и ядерной физике используется система единиц, в основу которой положены такие фундаментальные постоянные как постоянная Планка ( …
Потери энергии
Двигатель тянет горизонтальную ленту транспортера с постоянной скоростью
Задача 11-3
- Стрелу гарпуна массы
, к которой привязана гладкая гибкая нить, бросают вертикально вверх с начальной скоростью …