Маленький принц — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2009 9 класс № 1

1.1

1.1 По второму закону Ньютона (с учетом закона всемирного тяготения)

$С$

где – масса планеты, – радиус орбиты планеты, - период обращения планеты вокруг Солнца. Сравним движение Астероида и Земли, получим

$А З А З г о д а$

1.2

1.2. Наименьшее расстояние между астероидом и Землей будет, когда Солнце, Земля и Астероид установятся на одной прямой (точка 1 на рис.). При этом расстояние между Астероидом и Землей равно

$А З а е м$

Следующий раз такая ситуация повторится, когда Земля в своем движении вокруг Солнца обгонит астероид на угол , (или ) - точка 2. Относительная угловая скорость Земли относительно астероида равна $о т н З А З А$ .

Следовательно, время движения можно рассчитать по формуле

$о т н З А З А А З г о д а$

Таким образом, следующий раз минимальное расстояние между Землей и Астероидом случится через 1,33 года, т.е. примерно 1 мая 2010 года.

1.3

1.3. На любое тело, на поверхности Астероида, действует сила всемирного тяготения, сообщающая ему ускорение $А$ , которое можно выразить из уравнения

$А А А А А А$

Масса Астероида выражается через его плотность

$А А$

Подстановка формулы для массы в формулу (5) и последующий расчет приводит к результату

$А А м с$

1.4

1.4. Первая космическая скорость соответствует скорости движения по круговой орбите с радиусом, равным радиусу астероида, поэтому

$А А А А м с$

1.5

1.5. Вес тела на полюсе планеты численно равен силе тяжести, действующей на тело

На экваторе планеты вес тела уменьшается из-за суточного вращения планеты, поэтому на экваторе вес тела оказывается равным

Следовательно, относительное изменение веса тела равно

Из этой формулы следует, что период обращения Астероида вокруг собственной оси (т.е. сутки) рассчитывается по формуле

$часа$

1.6.1

1.6.1 Высота прыжка рассчитывается по известной формуле

Так как начальная скорость прыжка одинакова на Земле и Астероиде, то высота прыжка оказывается обратно пропорциональной ускорению свободного падения, поэтому высота прыжка на Астероиде будет равна

$м$

1.6.2

1.6.2 Ускорение свободного падения на высоте рассчитывается по формуле

здесь - радиус планеты, - ускорение свободного падения на поверхности планеты.

Таким образом, относительное уменьшение ускорения свободного падения равно

1.6.3

1.6.3 Уточнить найденную приближенно высоту прыжка можно, заменив в формуле (13) ускорение свободного падения на поверхности на среднее значение ускорения на поверхности и на найденной максимальной высоте, то есть положить

$м$