Представь, как меняется сила притяжения Солнца на телах, движущихся по круговым орбитам разного радиуса; что определяет длительность года?

Используй закон всемирного тяготения и равновесие центростремительного ускорения для движения по круговой орбите; это приведёт к соотношению между периодом обращения и радиусом орбиты.

1. Запиши уравнение равенства гравитационной силы и центростремительной силы для тела на орбите радиуса с периодом .
2. Выведи из этого уравнения зависимость в общем виде (зависимость от ).
3. Подставь радиусы орбит Земли и астероида и получи соотношение между и .
4. Вырази из получённого соотношения.

Когда расстояние между Землёй и астероидом минимально, все три центра (Солнце, Земля, астероид) лежат на одной линии; какой элемент относительного движения надо рассмотреть дальше?

Рассмотри относительную угловую скорость двух тел на орбитах с разными периодами и используй правило для времени, за которое относительная фаза изменится на .

1. Запиши угловые скорости Земли и астероида через их периоды: .
2. Найди относительную угловую скорость и запиши время между совпадениями фаз как .
3. Подставь выражения для и и упростить дробь до вида с произведением периодов.
4. Вырази интервал времени до следующего близкого сближения и затем вычисли минимальное расстояние как разность радиусов орбит.

Нарисуй тело на поверхности астероида и отметь направление и точку приложения всех сил. Подумай, какие свойства астероида (геометрия, плотность) будут влиять на величину ускорения падения на поверхности.

Запиши закон всемирного тяготения в общем виде для силы притяжения между астероидом и телом и приравняй эту силу к массе тела, умноженной на искомое ускорение ; также вырази массу астероида через его объём и среднюю плотность.

1. Запиши равенство .
2. Вырази массу астероида как и объём шара как .
3. Подставь выражение для в уравнение силы и сократи на .
4. Выразите из полученной системы.

Первая космическая скорость — это скорость, при которой тело движется по круговой орбите на высоте, равной радиусу астероида; какая сила обеспечивает центростремительное ускорение?

Приравняй центростремительную силу к силе тяжести на поверхности и найди общее выражение для .

1. Запиши равенство .
2. Упрость его до выражения в общем виде.
3. Подставь ранее найденное значение при необходимости.
4. Вырази первую космическую скорость из полученной формулы.

Разница в весе между экватором и полюсом связана с центробежным эффектом из-за собственных суток планеты; что уменьшает вес на экваторе?

Используй баланс между гравитационной силой и центробежным ускорением: вес на экваторе равен ; относительное уменьшение веса даёт выражение для или периода суток.

1. Запиши вес на полюсе и на экваторе .
2. Вырази относительную разницу .
3. Подставь и преобразуй до вида, связывающего с и .
4. Вырази период суток из полученной формулы.

Нарисуй вертикальную траекторию прыжка и отметь начальную скорость и высшую точку. Подумай, какая величина при прочих равных определяет, как высоко поднимется тело.

Свяжи начальную кинетическую «запасённую» способность подняться с максимально достижимым подъёмом: кинетическая энергия при старте переходит в потенциальную энергию на вершине (или эквивалентное уравнение движения для подъёма при постоянном ускорении).

1. Запиши выражение, связывающее начальную скорость прыжка и высоту подъёма на Земле (не вычисляя чисел).
2. Применив то же выражение к Астероиду, запиши аналогичную связь между тем же и искомой высотой , подставив там соответствующее ускорение свободного падения .
3. Воспользуйся значением , полученным в решении (формула для и численное значение), и подставь его в соотношение из пункта 2.
4. Выразите из полученной системы.