Молодой, но талантливый физик Федя (он же Дядя Федор) летом гостил в деревне Простоквашино. Однажды он решил отправиться на рыбалку, наловить рыбки коту Матроскину. Но оказалось, что на его удочке потерялся поплавок. «Не беда! - Не сложно изготовить поплавок самостоятельно» - решил Федя. Нашел легкую деревянную прямую палочку, которая и должна служить поплавком. Как настоящий физик, Федя подумал, что было бы не плохо провести экспериментальные исследования. Бросил палочку в воду и... она не утонула, а расположилась на воде горизонтально, все попытки Феди заставить ее плавать вертикально окончились неудачей.

1. Докажите, что тонкий однородный стержень не может плавать вертикально.

Пришлось приступать к более серьезным исследованиям. Федя измерил характеристики своего будущего поплавка: имеет форму цилиндра, масса длина , радиус (значительно меньше длины, глубокомысленно отметил Федя), , плотность (заметно меньше плотности воды , что тоже не плохо). Затем Федор вспомнил, что к поплавку положено грузило, в качестве которого решил использовать кусочки свинца (плотность , которая больше плотности воды), массу грузила нужно подбирать. Грузило привязывается к нижнему концу поплавка.

Далее Федор решил упростить простейшие алгебраические выкладки и ввел «эффективную» массу грузила , такую, чтобы модуль суммы сил тяжести и Архимеда, действующих на него можно было записывать в виде .

1. Выразите величину «эффективной» массы , через заданные параметры.
2. Определите максимальную массу грузила, при которой поплавок не тонет.
3. Определите глубину погружения поплавка , если масса грузила

Опустив поплавок с привязанным грузилом в воду, Федя обнаружил, что в зависимости от массы грузила поплавок плавает либо почти горизонтально (при малых массах грузила), либо вертикально, при больших массах. Для теоретического описания обнаруженного эффекта Федор решил считать поплавок очень тонким, то есть пренебречь его толщиной.

1. Докажите, что тонкий поплавок с грузилом может плавать либо почти горизонтально, либо вертикально, при всех значениях масс грузила, кроме единственного значения , при котором поплавок может находиться в равновесии при любом угле его наклона . Найдите это значение массы . Укажите при каких массах поплавка, он будет плавать вертикально.

Такой малый выбор вариантов положения поплавка Феде не понравился, поэтому он решил сделать поплавок чуть потолще, быстро выстругал новый цилиндрический стерженек, определил его параметры (и Вы тоже считайте их известными) и притупил к дальнейшим теоретическим расчетам.

Прежде всего, он понял, что наклонное положение описывается сложно – необходимо уметь считать объем и положение центра масс срезанного наискось цилиндра. Обратившись к справочникам, он нашел, что срезанный наискось цилиндр, радиуса и высоты , которую можно выразить через угол среза (он же и угол наклона поплавка) , имеет объем равный

Далее вам следует повторить расчеты дяди Федора!

1. Найдите длину погруженной части поплавка, если он плавает вертикально. Для характеристики массы грузила используйте его «эффективную» массу .
   

   

   Для облегчения проверки используйте следующие обозначения.
   - угол наклона оси поплавка к вертикали, - точка пересечения оси поплавка с горизонтальной поверхностью, - глубина погруженной части поплавка (расстояние от точки до нижнего края – подсказываем, она не зависит от угла наклона); - длина меньшей «стороны» погруженной части поплавка.

2. Изобразите на рисунке силы, действующие на поплавок, укажите точки их приложения. Запишите выражения для этих сил и их моментов, относительно точки .

3. Запишите условия равновесия поплавка.

Уравнения получились не простыми, поэтому дядя Федор решил их решать, считая величину заданной и независимой от остальных параметров задачи.

1. При некоторых значениях уравнения равновесия имеют несколько решений. Найдите условия, при которых могут появиться положения равновесия, отличные от вертикального. Найдите значения углов , при которых поплавок может находиться в равновесии. Рассмотрите устойчивость этих положений равновесия.

Наконец, Федя вспомнил, что определяется параметрами поплавка.

1. Укажите, при каких значениях характеристик однородного цилиндрического поплавка и грузила, он может плавать устойчиво в наклонном положении?