Наиболее простой и общий путь решения данной задачи – использование уравнения динамики для движения центра масс, именно он выбран в качестве основного. Возможны и другие пути решения, некоторые из них приведены в качестве альтернативных вариантов.

1. Изобразим силы, действующие на бусинки в процессе движения. Силы реакции осей и перпендикулярны соответствующим осям. Обозначим их равнодействующую через .

Поскольку каждая бусинка движется вдоль соответствующей оси, то ее ускорение в направлении, перпендикулярном данной оси отсутствует. Следовательно, справедливо равенство

где и углы, обозначенные на рисунке.

Рассматривая движение системы (две бусинки) в целом, заметим, что сумма сил притяжения бусинок равна нулю, поскольку эти силы являются внутренними. Следовательно, на движение центра масс влияют только силы реакции осей и , т.е. фактически их равнодействующая .

Положение центра масс (точка на рисунке) в начальный момент времени задается координатами

где и — начальные координаты бусинок.

Аналогично, проекции векторов скорости и ускорения центра масс на соответствующие оси координат в два раза меньше скоростей и ускорений самих бусинок.

Согласно основному закону динамики для ускорения центра масс системы в проекциях на соответствующие оси с учетом равенства (1) получим уравнения

где и — проекции ускорения центра масс на координатные оси.

Как следует из (3), отношение проекций ускорений центра масс определяется отношением начальных смещений бусинок вдоль соответствующих осей

Кроме того, из (3) можно сделать вывод, что вектор равнодействующей двух сил и всегда «смотрит»

начало координат (см. рис) и равен по модулю силе взаимодействия .

Следовательно, центр масс системы (точка ) будет двигаться по направлению к началу координат (вдоль отрезка ) в течение всего времени движения. При этом отрезок будет приближаться к началу координат, оставаясь параллельным самому себе, т.е. в процессе движения угол будет оставаться постоянным.

Не смотря на очевидность сделанного утверждения докажем это.

Действительно, за малый промежуток времени после начала движения бусинки сместятся на расстояния

причем отношение этих расстояний определяется отношением ускорений бусинок в начальный момент времени

Однако отношение

будет сохраняться при выполнении условия

что совпадает с равенством (6). Таким образом, через малый промежуток времени после начала движения отрезок на рисунке сохранит свойство параллельности самому себе. Далее следует заметить, что и скорости бусинок по прошествии промежутка времени будут находиться в том же отношении, поэтому и для последующих интервалов времени будет выполняться соотношение (8).

Таким образом, бусинки попадут в начало координат одновременно (и вместе с центром масс!), причем интересно, что данный вывод не зависит от вида зависимости силы притяжения между бусинками.

Существенно в данном случае, чтобы сила притяжения была центральной, т.е. направленной вдоль отрезка, соединяющего бусинки в данный момент.

Альтернативные решения:

Для доказательства факта одновременного попадания бусинок в начало координат при произвольном взаимодействии запишем уравнения движения вдоль каждой из осей

где и представляют собой текущие координаты бусинок. Переходя к безразмерным координатам

видим, что получаются одинаковые уравнения движения при одинаковых начальных условиях

В таком случае решения также будут одинаковыми, что означает равенство времен движений бусинок.

2. Если сила притяжения бусинок постоянна по модулю, то движение центра масс (и бусинок) будет равноускоренным

где — модуль ускорения центра масс (направление – к началу координат).

Следовательно, искомое время находим по известным формулам

Альтернативные решения:

Рассмотрим случай, когда сила притяжения между бусинками постоянна по модулю . Тогда можем записать второй закон Ньютона для каждой бусинки в виде

В таком случае движение бусинок будет равноускоренным, а уравнения движения будут иметь вид

Из последних уравнений следует, что время движения бусинок в этом случае

3. В случае упругой связи, согласно условию, , поэтому сила будет меняться по модулю. В этом случае уравнение (3) примет вид

Учитывая, что в данном случае , получим уравнение гармонических колебаний в виде

с периодом

Следовательно, центр масс (вместе с бусинками) «доберется» до начала координат за четверть периода колебаний

Альтернативные решения:

В системе уравнений (9) запишем явное выражение для модуля силы

Оба уравнения являются уравнениями гармонических колебаний с периодом, определяемым формулой (14).

1. При заряженных бусинках справедлив закон Кулона, согласно которому модуль силы притяжения разноименных зарядов в вакууме имеет вид

В этом случае второй закон Ньютона для центра масс запишется следующим образом

где , причем в начальный момент времени .

Заметим, что уравнение (17) формально совпадает с уравнением движения под действием силы гравитации Ньютона, только значение размерной константы будет определяться другими параметрами.

Используя подсказку условия (третий закон Кеплера), рассмотрим движение планеты (центра масс системы) по круговой траектории (частный случай эллипса, у которого оба фокуса совпадают) радиусом .

В этом случае получаем

Как следует из (19) полный период обращения по окружности

координат составит половину периода обращения по такому вытянутому эллипсу с большой полуосью .

С учетом третьего закона Кеплера

В данной части задачи также можно воспользоваться альтернативным вариантом решения, так как уравнения (9) формально совпадают с уравнениями динамики движения в центральном поле в проекциях на декартовы оси координат.