Нарисуй поперечное сечение и представь цилиндр как набросок тонких коаксиальных трубок. Как ведёт себя ток в каждой такой трубке — параллельно или последовательно?

Запиши выражение для сопротивления тонкой трубки и воспользуйся тем, что при параллельном соединении суммарная проводимость равна сумме проводимостей отдельных трубок.

1. Разбей радиус на элементарные кольца толщины и выпиши их площадь поперечного сечения .
2. Подставь в зависимость и запиши элементарную проводимость для кольца.
3. Проинтегрируй суммарную проводимость по радиусу от до .
4. Вырази из полученной интегральной зависимости.

Как найти ток и выделяемую мощность, зная сопротивление резистора? Какая часть цилиндра нагреется сильнее при росте удельного сопротивления в сторону правого торца?

Применяй закон Ома и закон Джоуля-Ленца — используйте из пункта 2.1; нагрев сильнее там, где удельное сопротивление больше.

1. Подставь найденное в и вычисли ток как функцию параметров.
2. Вычисли мощность по .
3. Сделай качественный вывод о том, какой конец нагреется сильнее, опираясь на зависимость .
4. Вырази и из полученной системы.

В стационарном токе в проводнике с неравномерным удельным сопротивлением вдоль оси возникает неоднородное электрическое поле. Как связаны плотность заряда и изменение поля по оси?

Воспользуйся законом в дифференциальной форме: плотность свободного заряда связана с дивергенцией поля через постоянную электрической проницаемости (в приближении свободного пространства) и тем, что локальное поле задаётся ; в стационарном режиме постоянно.

1. Запиши плотность заряда как и подставь с .
2. Интегрируй плотность заряда по объёму резистора (по с умножением на поперечную площадь ) чтобы получить общий накопленный заряд внутри.
3. Приведи выражение для через параметры задачи, пользуясь постоянством тока .
4. Вырази из полученной системы.