Термоэлектрические явления

Условие

Республиканская олимпиада 2016 10 класс № 3

Современная теория строения металлов основывается на законах квантовой физики. Однако и более простые классические теории позволяют получать описывать многие свойства металлов. Одной из простейших теорий, описывающих явления тепло- и электропроводности в металлах, является теория металлов Друде, предложенная немецким физиком Паулем Друде в 1900 году. Теория основывается на следующих предположениях:

кристаллическая решётка металла образована положительно заряженными ионами, которые считаются неподвижными, электроны же внутри металла свободны и образуют электронный газ, который считается идеальным;
электрон - электронными столкновениями пренебрегают, рассматривая только столкновения электронов с ионами;
в интервале между столкновениями не учитывается взаимодействие электрона с другими электронами и ионами решетки;
столкновения мгновенно изменяют скорость электрона, причём скорость электрона после столкновения не зависит от его скоростью до столкновения, направлена случайно, а её величина соответствует температуре проводника, в области столкновения;
время между двумя последовательными столкновениями является случайной величиной, среднее значение которого определяется свойствами металла и равно (эта величина также называется временем релаксации); средний квадрат времени между столкновениями равен ;

В данной задаче вам предстоит в рамках теории Друде рассчитать некоторые характеристики меди.

Вам могут понадобиться значения следующих величин:

элементарный заряд Кл ;
масса электрона кг ;
постоянная Авогадро моль ;
постоянная Больцмана Дж К ;
атомная масса меди кг моль ;
валентность меди ;
плотность меди кг м ;
удельное сопротивление меди Ом м .

Часть 1. Закон Ома.

В данной части вам необходимо доказать, что из теории Друде следует закон Ома для участка цепи, который в дифференциальной форме имеет вид

*Где - вектор плотности тока, - напряженность поля внутри проводника, - его удельная проводимость.

1.1 Найдите концентрацию электронов в меди и рассчитайте её численное значение.

1.2 Найдите среднеквадратичную скорость движения электронов меди температуре и рассчитайте её численное значение при температуре К.

Пусть внутри металла существует однородное электрическое поле напряженности .

1.3 Найдите среднюю скорость упорядоченного движения электронов в меди в этом случае. Покажите, что эта скорость пропорциональна напряженности электрического поля .

1.4 Выразите удельную проводимость металла через среднее время между столкновениями .

1.5 Используя экспериментальные значения характеристик меди, рассчитайте численное значение среднего времени между столкновениями .

1.6 Рассчитайте численное значение средней скорости упорядоченного движения электронов в меди при плотности тока $мм$ .

Часть 2. Закон Джоуля – Ленца.

В данной части вам необходимо доказать. Что из теории Друде следует закон Джоуля – Ленца, который в дифференциальной форме выражается формулой

где - мощность теплоты, выделяющаяся в единице объема проводника при прохождении тока плотности .

Пусть температура проводника постоянна и равна . Внутри проводника существует однородное электрическое поле напряженности .

2.1 Найдите среднюю энергию , передаваемую электроном кристаллической решётке за одно столкновение.

2.2 Покажите, что мощность теплоты, выделяющейся в единице объема, описывается формулой (2).

Часть 3. Закон Видемана – Франца.

Пусть металлический стержень неравномерно нагрет так, что его температура изменяется вдоль стержня и описывается функцией

В этом случае в стержне будет существовать поток теплоты, который описывается законом Фурье

где - плотность потока теплоты (количество теплоты, перетекающей через площадку единичной площади в единицу времени), - коэффициент теплопроводности материала стержня.

Теплопроводность металлов главным образом обусловлена движением электронов, поэтому между теплопроводностью и электропроводностью металлов должна существовать связь. Эта связь была экспериментально обнаружена в 1853 году и носит название закона Видемана – Франца, который утверждает, что отношение

является постоянной величиной для всех металлов и называется числом Лоренца .

В данной части вам необходимо доказать, что из модели Друде следует закон Видемана – Франца, а также рассчитать постоянную Лоренца.

3.1 Запишите выражения для плотностей потоков энергии, переносимой электронами в положительном и отрицательном направлении оси , а также суммарного потока энергии .

Используйте приближенную формулу, справедливую при медленном изменении функции

3.2 Получите формулу для теплопроводности металла и рассчитайте ее численное значение для меди при температуре

3.3 Рассчитайте численное значение постоянной Лоренца .

Часть 4. Эффект Томсона.

При прохождении электрического тока по неоднородно нагретому проводнику выделяется дополнительное (по сравнению с теплотой Джоуля – Ленца) количество теплоты (это явление называется эффектом Томсона). Эффектом Томсона называется дополнительное выделение или поглощение теплоты при прохождении тока в неравномерно нагретом проводнике. В данной части задачи вам необходимо показать, что модель Друде объясняет этот эффект и получить формулу для расчета мощности теплоты Томсона.

Пусть температура медного стержня металла не зависит от времени, но зависит от координаты по закону

где и - известные положительные константы. По стержню протекает электрический ток плотности .

4.1 При каком направлении тока теплота Томсона будет положительной, а при каком отрицательной?

4.2 Найдите мощность теплоты, выделяющейся в единице объема стержня (плотность мощности) в описанном случае.

4.3 Покажите, что мощность дополнительной теплоты Томсона пропорциональна плотности тока и градиенту температуры . Получите выражение для коэффициента пропорциональности.

Нужна подсказка? →

Условие

Похожие задачи