Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.Современная теория строения металлов основывается на законах квантовой физики. Однако и более простые классические теории позволяют получать описывать многие свойства металлов. Одной из простейших теорий, описывающих явления тепло- и электропроводности в металлах, является теория металлов Друде, предложенная немецким физиком Паулем Друде в 1900 году. Теория основывается на следующих предположениях:
кристаллическая решётка металла образована положительно заряженными ионами, которые считаются неподвижными, электроны же внутри металла свободны и образуют электронный газ, который считается идеальным;
электрон - электронными столкновениями пренебрегают, рассматривая только столкновения электронов с ионами;
в интервале между столкновениями не учитывается взаимодействие электрона с другими электронами и ионами решетки;
столкновения мгновенно изменяют скорость электрона, причём скорость электрона после столкновения не зависит от его скоростью до столкновения, направлена случайно, а её величина соответствует температуре проводника, в области столкновения;
время между двумя последовательными столкновениями является случайной величиной, среднее значение которого определяется свойствами металла и равно
(эта величина также называется временем релаксации); средний квадрат времени между столкновениями равен ;
В данной задаче вам предстоит в рамках теории Друде рассчитать некоторые характеристики меди.
Вам могут понадобиться значения следующих величин:
- элементарный заряд
Кл ; - масса электрона
кг ; - постоянная Авогадро
моль ; - постоянная Больцмана
Дж К ; - атомная масса меди
кг моль ; - валентность меди
; - плотность меди
кг м ; - удельное сопротивление меди
Ом м .
1.1 Найдите концентрацию электронов в меди
Подумай, сколько свободных электронов даёт каждый атом меди и как это связано с плотностью вещества. Нарисуй мысленно объём единичной величины V = 1 м^3 и посчитай число атомов в нём.
Используй определение концентрации
- Запиши
— число атомов в объёме через , и . - Учти, что на каждый атом приходится
свободных электронов, значит число электронов равно . - Раздели число электронов на объём
для получения концентрации . - Выразите
через , , и и подставьте численные значения.
1.1. На каждый ион в металле приходится 
1.2 Найдите среднеквадратичную скорость движения электронов меди
Пусть внутри металла существует однородное электрическое поле напряженности
1.2. Так как электронный газ считается идеальным, к нему можно применить методы кинетической теории газов, в соответствии с чем
1.3 Найдите среднюю скорость
1.3. В электрическом поле в соответствии со вторым законом Ньютона для электронов
Тогда по прошествии времени 
где 
1.4 Выразите удельную проводимость металла
1.4. Плотность тока в данном случае найдем
по закону Ома. Тогда
1.5 Используя экспериментальные значения характеристик меди, рассчитайте численное значение среднего времени между столкновениями
1.5. С учетом (7) для среднего времени между столкновениями получаем
1.6 Рассчитайте численное значение средней скорости упорядоченного движения электронов в меди при плотности тока
2.1 Найдите среднюю энергию
2.1. Найдем среднюю энергию, передаваемую электроном кристаллической решетке за одно столкновение. Если 
2.2 Покажите, что мощность теплоты, выделяющейся в единице объема, описывается формулой (2).
2.2. Тогда мощность, выделяемую в единице объёма, можно найти как
3.1 Запишите выражения для плотностей потоков энергии, переносимой электронами в положительном
Используйте приближенную формулу, справедливую при медленном изменении функции
3.1. Перенос теплоты осуществляется за счёт того, что электроны, пришедшие из областей с более высокой температурой, сталкиваясь с ионами в областях с меньшей температурой, отдают им больше энергии, чем получают от них. Рассмотрим некоторое поперечное сечение внутри металла. В среднем половина электронов приходит в эту точку со стороны положительного направления оси
Тогда плотность потока теплоты, обусловленная электронами, пришедшими со стороны отрицательного направления оси 
Тогда полная плотность потока теплоты для электронов с проекцией скорости 
так как
3.2 Получите формулу для теплопроводности металла и рассчитайте ее численное значение для меди при температуре
3.2. Для теплопроводности металла (меди) получаем следующее значение
3.3 Рассчитайте численное значение постоянной Лоренца
3.3. Численное значение постоянной Лоренца найдем из формулы подсказки
4.1 При каком направлении тока теплота Томсона будет положительной, а при каком отрицательной?
Подумай, как меняется передаваемая решётке энергия, если электроны переносят разную энергию при движении с горячих к холодным областям и наоборот; направление тока определяет, какие электроны преобладают в переносе энергии.
Используй найденную в части 3 идею: поток энергии от правой и левой стороны зависит от локальной температуры в точках, откуда приходят электроны; изменение направления тока меняет знак дополнительной отдачи энергии и, следовательно, знак эффекта Томсона.
- Представь, что ток течёт в направлении повышения температуры (по направлению положительного градиента).
- Определи, какие электроны (из более горячих или холодных областей) вносят больший вклад в перенос энергии в данном направлении.
- Сравни сумму отдачи и прихода энергии и установи знак дополнительной теплоты (положительная при суммарной отдаче решётке).
- Сформулируйте условие: укажи направление тока, при котором тепло Томсона положительно, и противоположное направление — где оно отрицательно.
4.1. Рассуждения в данном пункте практически полностью повторяют оные из пункта 2.1. Действительно, при этом
С учетом правил работы с бесконечно малыми величинами, данное выражение можно преобразовать как
4.2 Найдите мощность теплоты, выделяющейся в единице объема стержня (плотность мощности)
4.2. Пусть электрон испытывает одно столкновение в точке с координатой 
Полученное выражение можно привести к виду
Откуда следует, что
Численное значение дает
4.3 Покажите, что мощность дополнительной теплоты Томсона пропорциональна плотности тока
4.3. Из формулы (25) следует, что мощность дополнительной теплоты Томсона пропорциональна плотности тока и градиенту температур, причем коэффициент пропорциональности равен
Похожие задачи
Электронный газ и неоднородный проводник
В классической электронной теории металлов предполагается, что движение электронов подчиняется законам классической теории. В этой теории электроны …
У Р Б П ≈5/5 Э1
Терморезистор
Приборы и оборудование: терморезистор, термометр, мультиметр, секундомер, штатив, горячая и холодная вода в стаканах, алюминиевый …
У Р Б П ≈4/5 Т3
Давление света
В некоторых книгах утверждается, что давление света подтверждает его квантовую природу. Однако, описать это явление можно точно и в рамках …
У Р Б П ≈4/5 Т2
Взаимодействия цилиндрических магнитов
Описание магнитных полей и магнитных взаимодействий является математически более сложной задачей, чем описание электростатических взаимодействий. Во …
У Р Б П ≈4/5 Т3
Систематические погрешности электрических схем
При проведении измерений вольтамперных характеристик (ВАХ – зависимость силы тока через исследуемый элемент от напряжения на нем) используют …
У Р Б П ≈4/5 Т2
Магнетизм и теплота
Однослойная обмотка длинного кругового соленоида (катушки) содержит