Нарисуй ситуацию: частица в покое, на неё кратковременно действует постоянная сила. Как изменится её импульс за время τ?

Применяй теорему об изменении импульса в форме , где сила равна электрической силе на заряд.

1. Запиши силу: .
2. Подставь в теорему импульса: .
3. Вырази из полученного уравнения.

Подумай, какую работу совершает поле за время τ и во что она превращается.

Применяй теорему о кинетической энергии в форме (работа поля равна работе силы на смещении).

1. Запиши работу поля: .
2. Запиши энергоденерват: .
3. Вычисли смещение при равноускоренном движении с , подставь в уравнение и вырази .

Нарисуй силы, действующие на частицу во время включения поля, и подумай, какую из них в первом приближении можно не учитывать при пренебрежении смещением.

Применяй теорему об изменении импульса: запиши уравнение для суммарной силы, действующей на частицу, на интервале времени τ (при этом силу пружины в первом приближении опусти).

1. Нарисуй свободное тело и подпиши единственную незанулённую силу электрического поля .
2. Запиши теорему об изменении импульса в виде для этого интервала времени.
3. Положи начальную скорость равной нулю, получишь уравнение вида .
4. Вырази из этого уравнения приближенное значение скорости .

Во втором приближении смещение уже учитывают, но ускорение берут равным начальному — используй это для записи координаты как функции времени.

Запиши теорему об изменении импульса в дифференциальной форме и подставь приближённую координату при постоянном начальном ускорении.

1. Найди приближённую координату за время t: .
2. Подставь в уравнение для : .
3. Интегрируй по времени от 0 до τ и вырази получившееся .

Применяй теорему о кинетической энергии, учитывая энергию упругости пружины в момент выключения поля.

Запиши баланс: и используй выражение для координаты в выбранном приближении.

1. Запиши уравнение энергии: .
2. Подставь — координату при принятом приближении.
3. Вырази из полученного уравнения (оставь в форме подкоренного выражения).

Сравни предположения, сделанные в двух подходах: что в каждом из них пренебрегли и какие силы при этом учитываются в момент выключения поля? Подумай, какое физическое условие определяет корректность конечной формулы для скорости.

Запиши одновременно уравнение теоремы об изменении импульса и уравнение теоремы о кинетической энергии и поставь в них координату частицы в момент выключения поля, полученную во втором приближении; сравни их по порядкам малости по величине, содержащей силу пружины.

1. Запиши выражение для , полученное в п.2.2 (из теоремы об изменении импульса), с явным учётом члена порядка .
2. Запиши выражение для , полученное в п.2.4 (из теоремы о кинетической энергии), подставив координату из второго приближения.
3. Разверни выражение из пункта 2 по малому параметру, сохранив члены до порядка, соответствующего , используя приближение (3).
4. Сравни полученные разложения и вырази с учётом членов до порядка ; на этом основании укажи, какая из формул (п.2.2 или п.2.4) даёт правильное значение.

Оцени, как относительная погрешность скорости влияет на относительную погрешность максимального смещения.

Учитывая, что в первом приближении , выведи связь относительных погрешностей между X и v (п.2.3).

1. Запиши пропорцию где , следовательно относительная ошибка X равна относительной ошибке v.
2. Подставь из п.2.3 и вырази относительную погрешность смещения.
3. Формально запиши итоговую формулу для относительной погрешности .

Подумай, как связано напряжение между сферами с полем вблизи внутренней сферы — поле у поверхности связано с интегралом поля между обкладками.

Используй распределение поля между концентрическими сферами: и выражение для разности потенциалов ; затем свяжи постоянную с .

1. Положи и вычисли .
2. Вырази через : .
3. Подставь в выражение для и вырази через , и .

Найди зависимость поля между сферами, зная его вид у внутренней поверхности и геометрию конденсатора.

Используй результат из п.3.1: поле в точке на расстоянии r от центра имеет вид , где .

1. Запиши и подставь .
2. Упрощай: получишь .
3. Вырази окончательную формулу для через и геометрические параметры.

Нарисуй центр сфер и путь частицы: поле радиально и меняется с расстоянием от центра, частица немного отходит от внутренней сферы за время τ. Подумай, какую величину нужно интегрировать по времени, чтобы получить изменение импульса.

Используй теорему об изменении импульса в интегральной форме: , где — расстояние частицы от центра в момент времени .

1. Запиши и для определения возьми начальное ускорение, соответствующее полю у поверхности: используй движение с нулевой начальной скоростью при постоянной начальной ускоренности.
2. Подставь полученное в подынтегральную функцию , вырази её через и геометрические величины конденсатора.
3. Вычисли интеграл , упростив выражение до алгебраической формы (включая приведение степеней), сохранив члены до нужного порядка по малой величине.
4. Выразите из полученной системы.

В первом приближении поле не меняется по ходу частицы: пользуйся постоянным ускорением равным начальному значению.

При постоянном ускорении расстояние между обкладками L=(r_2-r_1) пройдено за время по формуле ; поправка из учёта конечного времени τ даёт более высокую степень малости.

1. Вырази первое приближение для времени: с .
2. Смотри на порядок поправки, возникающей при учёте смещения за время τ: поправка к скорости ∝τ^3, значит поправка ко времени тоже будет иметь порядок τ^3.
3. Сделай вывод: в разложении порядок степени поправки равен .