Газовые законы — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2024 10 класс № 2

Задача 2. Канатоходцы

Прежде всего, обратим внимание, что относительные деформации проволоки малы (максимальная деформация немного превышает 5%). Поэтому при решении задачи можно считать, что провисание проволоки также является малой величиной

Так как задана зависимость силы упругости от относительной деформации, то необходимо получить аналогичную зависимость, связанную, кроме того, с силой тяжести.
Выразим удлинение проволоки с величиной провисания:

Воспользуемся малостью величины

, и упростим данную формулу (используя приближенную формулу для степенной зависимости):

Эта величина представляет удлинение половины проволоки, поэтому ее относительное удлинение равно

Условие равновесия груза имеет вид

где

малый угол, который проволока образует с горизонтом (см. рис). Так угол мал, то можно записать приближенное выражение

Из формулы (3) выразим

и подставим в уравнение (4):

2.1 Используя это уравнение, найдем значение массы груза, при котором деформация проволоки линейно зависит от относительной деформации. Для этого в уравнение (6) подставим значения относительной деформации и силы упругости, соответствующие точке 1:

кг

Масса подвешенного груза меньше этой величины, поэтому искомые значения лежат в области линейной зависимости силы упругости от относительной деформации:

где - коэффициент наклона линейного участка диаграммы растяжения. Из формул (6), (8) и (3) получаем:

Откуда окончательно находим

$см$

2.2 Разрыв проволоки происходит при , при этом сила упругости равна $кН Н$ . Тогда из уравнения (6) находим максимальную массу подвешенного груза:

$кг$

1.1

1.1 При достижении термодинамического равновесия выравниваются давления и температуры газов обеих частях сосуда:

Для определения параметров газов запишем уравнения Клапейрона для обеих порций газов

Разделим уравнения (2) друг на друга

Добавим условие постоянства объема

Из этих уравнений следует, что объемы газов станут равными

Из уравнений (2) найти значения установившихся давлений и температур нельзя, т.к. в них входят только их отношение. Поэтому следует воспользоваться первым законом термодинамики. Так как давления газов на поршень с разных сторон все время одинаковы, то работа газов по перемещению поршня равны нулю. Система теплоизолирована, поэтому внутренняя энергия газов сохраняется.

Внутреннюю энергию одноатомного газа можно рассчитать по формулам

Здесь использовано уравнение состояния идеального газа .
Уравнения закона сохранения энергии в данном случае имеет вид

из которого следует, что давление газа не изменяется, т.е.

Теперь установившуюся температуру можно найти из любого из уравнений (2):

Используя найденное значение объема, получаем

1.2

1.2 Т.к. смещением поршня пренебрегаем, то объемы газов остаются неизменными:

Также остаются неизменными параметры газа в части сосуда b:

В процессе нагревания полученная теплота идет на увеличение внутренней энергии газа в части сосуда a:

Подставляем известные значения параметров

и находим

Значение температуры газа найдем из уравнения состояния Клапейрона (для состояний 0 и 2):

из которого следует, что температура газа станет равной

1.3

1.3 После установления равновесия температуры и давления газов в разных частях сосуда станут равными

Для упрощения расчетов рассмотрим переход из состояния 0 в конечное состояние 3 (без промежуточных этапов). Первый закон термодинамики приводит к уравнению

из которого сразу следует, что давление газа будет равно

Запишем уравнения состояния для обеих порций газов:

Сложим эти два уравнения:

и найдем значение конечной температуры: