Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.Задание состоит из 4 логично связанных между собой задач.
*Уильям Томсон (1824 – 1907) – британский физик и инженер, известен своими работами в области механики, термодинамики, электродинамики. За необыкновенные заслуги Томсона в науке 1866 году Томсон был посвящён в рыцарское достоинство. В 1892 году королева Виктория пожаловала Томсону наследственное пэрство. Вследствие этого известный уже как «лорд Кельвин» стал первым британским учёным, получившим право заседать в палате лордов. Одной из самых существенных заслуг Уильяма Томсона являлось разработка теории и усовершенствование трансатлантического кабеля.
Данное задание касается изучению некоторых теоретических проблем, связанных с распространением электрического тока по длинному проводящему кабелю с неидеальной изоляцией.
Может и вам удастся получить дворянский титул?
Задача 1.
На рисунке показана электрическая цепь, состоящая из источника постоянного напряжения
1.1 Рассчитайте значения сил токов через все резисторы, считая силу тока
Используйте обозначения сил токов, приведенные на рисунке.
*Подсказка. Расчет таких цепей удобно начинать с крайних элементов. Чтобы облегчить Ваши расчеты, в Листе ответов приведена Таблица 1. Заполнять эту таблицу следует слева направо и сверху вниз. Пунктиром выделены участки цепи, сопротивления которых обозначены
Приведите в Таблице 1 формулы для расчета этих сопротивлений, рассчитайте их значения, выраженные через величину
1.1 Расчет характеристик приведенной цепи традиционен и основан на законах параллельного и последовательного соединения проводников. Результаты расчетов приведены в Таблице 1.
Таблица 1.
1.2 Выразите значения сил токов
1.2 Сила тока
В Таблице получена связь между токами, из которой следует
1.3 Рассчитайте численные отношений сил токов
Задача 2.
1.3 Требуемые отношения сил токов равны
Задача 2.
2.1 Рассчитайте значения сил токов
2.1 В условии исходные данные заданы с двумя значащими цифрами, поэтому с такой же точностью следует проводить расчет цепи. Сопротивления
2.2 Рассчитайте разность сил токов
Подсказка. Нет необходимости решать эту задачу абсолютно точно. Посмотрите внимательно на заданные значения сопротивлений и проведите расчет с необходимым числом значащих цифр.
Задача 3.
Бесконечная цепочка, состоящая из одинаковых звеньев, подключена к источнику постоянного напряжения 
2.2 Разность сил токов
Выберем произвольный резистор, номер которого обозначим
Поэтому сила тока через этот резистор равна
Осталось просуммировать эти силы токов:
Элементарный расчет приводит к результату
Задача 3.
3.1 Найдите полное сопротивление цепи.
3.1 Расчет сопротивления бесконечной цепочки достаточно известен. Обозначим это сопротивление
схему цепочки. Запишем теперь выражение для сопротивления всей цепочки
Это выражение следует рассматривать как квадратное уравнение для нахождения неизвестного сопротивления
Положительный корень этого уравнения определяется по формуле (отрицательное сопротивление физического смысла не имеет):
При
3.2 Покажите, что силы токов
3.2 Рассмотрим произвольное звено бесконечной цепочки, схема которого и направления сил токов показаны на рисунке. Для этих сил токов можно записать два равенства
Из этих выражений следует, что
Это рекуррентное соотношение определяет геометрическую прогрессию для последовательности значений сил токов. В явном виде можно записать формулу для геометрической прогрессии
где
3.3 Получите формулу, позволяющую рассчитать значения всех сил токов
Подсказка. Если от бесконечности отнять единицу, то получится та же бесконечность.
Пусть в бесконечной цепочке, показанной на рисунке, сопротивления
3.3 Подстановка параметров цепи в эти формулы дает
Иными словами, после каждого звена сила тока уменьшается в два раза.
3.4 Получите формулу для общего сопротивления всей цепочки, при условии
3.4 При условии
3.5 Получите формулу для расчета силы тока в произвольном звене
Задача 4
Телеграфный кабель, который изучал У. Томсон, имел достаточно сложную структуру (см. рисунок): медная жила, резиновая изоляция, броневая защита.
Для расчетов существенно:
- диаметр медной жилы
мм (удельное сопротивление меди Ом м); - толщина слоя резиновой изоляции
мм (удельное сопротивление резины считайте равным Ом м). - длина кабеля
км.
Кабель проложен по дну Атлантического океана, поэтому можно считать, что внешний слой изоляции контактирует с хорошо проводящей электрический ток морской водой. Не смотря, на высокое удельное сопротивление изоляции электрический ток частично проходит через изоляционный слой и уходит в океанскую воду.
3.5 В этом случае значения сил токов также образуют геометрическую прогрессию Знаменатель этой прогрессии и сила тока в цепи равны
Тогда явный вид формулы для значений сил токов записывается в виде:
Задача 4
4.1 Рассчитайте электрическое сопротивление
Для проводника используйте стандартную зависимость сопротивления от удельного сопротивления, длины и площади поперечного сечения. Вычисли для отрезка длиной Δl и затем масштабируй на весь кабель.
Запиши формулу
- Определи площадь сечения жилы
и запиши для десяти километров. - Выполни подстановку и удержи выражение в символическом виде с последующей подстановкой чисел.
- Выразите
для участка и полное сопротивление медной жилы .
4.1 Сопротивление медной жилы длиной
Подставив численные значения, получим (все величины в системе СИ):
Сопротивление всего кабеля
4.2 Рассчитайте (приближенно, но с хорошей точностью) электрическое сопротивление
Токи через изоляцию текут радиально от жилы к внешней воде; используй формулу для сопротивления тонкого кольцевого слоя с удельным сопротивлением. Подумай, какую площадь принять для приближённого расчёта.
Модель: сопротивление через слой толщины
- Выбери эффективную длину окружности примерно на радиусе
и запиши (или аналогичное приближение). - Подставь в формулу
и вычисли для участка . - Выразите
участка и полное сопротивление изоляции, масштабируя на длину кабеля.
4.2 Ток через изоляцию протекает перпендикулярно оси кабеля, поэтому ее сопротивление равно
Толщина изоляции сравнима с диаметром жилы, поэтому площадь поперечного сечения увеличивается по мере удаления от жилы. Поэтому в качестве разумного приближения взято сечении на половине слоя изоляции.
4.3 Предложите приближенную эквивалентную электрическую схему подводного телеграфного кабеля, описывающую протекание электрических токов в кабеле.
Суммарная картина: медная жила даёт последовательное сопротивление вдоль кабеля, а утечки через изоляцию образуют шунты на каждом участке к земле (воду).
Представь кабель как лестничную (ladder) сеть из повторяющихся участков: последовательное
- Нарисуй элементарный сегмент: последовательно
(медь на длине Δl) и параллельно к земле (изоляция на той же длине). - Собери цепочку из N=L/Δl таких сегментов, получив последовательное соединение
с шунтами к земле. - Выразите эквивалентную схему как лестничную сеть из N одинаковых звеньев (серия
и шунт на каждом шаге).
4.3 Несмотря на то, что кабель представляет непрерывную систему, можно разбить ее на отдельные куски некоторой длины
4.4 Рассчитайте отношение силы тока на выходе из кабеля
Ток на выходе после всей длины уменьшается из-за последовательных падений и утечек через каждый шунт; применяй результат для цепочек равных звеньев.
Используй модель из пункта 4.3: для одного сегмента определи множитель передачи тока
- Для одного звена в рамках эквивалентной схемы выпиши отношение тока после звена к входному (используя делитель тока между последующим
и шунтом ). - Определи
и вычисли для полного кабеля , где . - Выразите отношение
через вычисленные и (или их приближённые корни) и число сегментов .
4.4 Для расчета отношения сил токов на выходе и входе следует воспользоваться формулой (19)
Здесь
Введенная здесь постоянная величина, равна
Теперь можно переписать формулу (24) в виде
Можно убедиться в том, что при
Так при
т.е. сила тока уменьшилась примерно в 20 раз. Понятно, что не утечка тока являлась основной причиной неработоспособности трансатлантического кабеля!
Дополнение (от участников олимпиады не требуется). Строго говоря, в формуле (27) необходимо устремить
что совпадает с ранее полученным результатом.
Также можно указать смысл постоянной
Похожие задачи
Подводный телеграфный кабель
В настоящее время подавляющий поток информации предается по спутниковым и оптическим каналам связи. Однако глобальная информатизация начиналась с …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Шарики в трубе
На дне узкого вертикального цилиндрического стеклянного сосуда высотой
Задача 11-3
С развитием технологий появляются все новые материалы с удивительными свойствами. Два таких метаматериала рассматриваются в данной задаче.
У Р Б П ≈5/5 Т3
Конечная бесконечность
«Шаг за шагом ...» Рассмотрим линейную электрическую цепь из резисторов
Полупроводник
В данном задании вам предстоит теоретически описать электрическую проводимость чистого (без примесей) полупроводника и ее зависимость от температуры …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Чем длина отличается от ширины?
Цилиндр радиуса