Расчет характеристик приведенной цепи традиционен и основан на законах параллельного и последовательного соединения проводников. Результаты расчетов приведены в Таблице 1.

Таблица 1.

Сила тока определяется по закону Ома (сопротивление всей цепи есть ):

В Таблице получена связь между токами, из которой следует

Требуемые отношения сил токов равны

Задача 2.

В условии исходные данные заданы с двумя значащими цифрами, поэтому с такой же точностью следует проводить расчет цепи. Сопротивления в тысячу раз меньше сопротивлений . Поэтому силы токов через резисторы более чем в 100 раз меньше, чем силы токов через резисторы . Следовательно, с приемлемой погрешностью при расчете сил токов и токами через резисторы можно пренебречь. Поэтому эти силы токов равны

Разность сил токов равна сумме сил токов «утечки» через резисторы . Выберем произвольный резистор, номер которого обозначим (). В рамках использованного приближения, напряжение на этом резисторе равно Поэтому сила тока через этот резистор равна Осталось просуммировать эти силы токов: Элементарный расчет приводит к результату

Задача 3.

Расчет сопротивления бесконечной цепочки достаточно известен. Обозначим это сопротивление . Если от бесконечной цепочки мысленно отключить первое звено, то сопротивление оставшейся цепочки также будет равно . Это позволяет построить эквивалентную

схему цепочки. Запишем теперь выражение для сопротивления всей цепочки

Это выражение следует рассматривать как квадратное уравнение для нахождения неизвестного сопротивления :

Положительный корень этого уравнения определяется по формуле (отрицательное сопротивление физического смысла не имеет):

При , сопротивление цепочки оказывается равным:

Рассмотрим произвольное звено бесконечной цепочки, схема которого и направления сил токов показаны на рисунке. Для этих сил токов можно записать два равенства

Из этих выражений следует, что

Это рекуррентное соотношение определяет геометрическую прогрессию для последовательности значений сил токов. В явном виде можно записать формулу для геометрической прогрессии

где

Подстановка параметров цепи в эти формулы дает , . Тогда значения всех сил токов описываются формулой

Иными словами, после каждого звена сила тока уменьшается в два раза.

При условии в формуле (11) надо оставить только самое большое слагаемое, которое определяет сопротивление всей цепи

В этом случае значения сил токов также образуют геометрическую прогрессию Знаменатель этой прогрессии и сила тока в цепи равны

Тогда явный вид формулы для значений сил токов записывается в виде:

Задача 4

Сопротивление медной жилы длиной рассчитывается по формуле

Подставив численные значения, получим (все величины в системе СИ):

Сопротивление всего кабеля

Ток через изоляцию протекает перпендикулярно оси кабеля, поэтому ее сопротивление равно

Толщина изоляции сравнима с диаметром жилы, поэтому площадь поперечного сечения увеличивается по мере удаления от жилы. Поэтому в качестве разумного приближения взято сечении на половине слоя изоляции.

Несмотря на то, что кабель представляет непрерывную систему, можно разбить ее на отдельные куски некоторой длины

(например 10 км). В этом случае эквивалентной схемой является бесконечная цепочка, рассмотренная в задаче 3.

Для расчета отношения сил токов на выходе и входе следует воспользоваться формулой (19)

Здесь . Выразим отношение сопротивлений, входящих в эту формулу

Введенная здесь постоянная величина, равна

Теперь можно переписать формулу (24) в виде

Можно убедиться в том, что при результаты расчетов практически не зависят от искусственно выбранного значения .

Так при получаем

т.е. сила тока уменьшилась примерно в 20 раз. Понятно, что не утечка тока являлась основной причиной неработоспособности трансатлантического кабеля!

Дополнение (от участников олимпиады не требуется). Строго говоря, в формуле (27) необходимо устремить . В этом случае

что совпадает с ранее полученным результатом.

Также можно указать смысл постоянной : обратная ей величина есть расстояние на котором сила тока в кабеле убывает в раз.