Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
В различных разделах физики часто используется понятие «среднее значение физической величины». Однако это понятие не является однозначным, потому, что «средние» могут быть разными! В каждом конкретном случае, надо точно определять о каком именно «среднем» идет речь. В данном задании Вам необходимо продемонстрировать понимание этой проблемы.
Примечания. 1. Все числа, фигурирующие в условии задачи, считайте точными. 2. В решении допускается проведение промежуточных численных расчетов.
Задача 1.1 Средняя скорость.
Определение. Тело движется с переменной скоростью в течение промежутка времени . Средней скоростью называется скорость равномерного движения , при которой за тот же промежуток времени тело проходит такое же расстояние, как и при движении с заданной переменной скоростью .
1.1.1 Автомобиль движется по прямой. На рисунке представлена зависимость скорости автомобиля от времени. Величины и считайте известными.
1.1.1 Расчет средней скорости в данном случае проводится традиционно. Пройденный путь численно равен площади под графиком зависимости : Следовательно, средняя скорость за все время движения будет равна
1.1.1 Найдите среднюю скорость точки за все время движения .
1.1.1 Расчет средней скорости в данном случае проводится традиционно. Пройденный путь численно равен площади под графиком зависимости : Следовательно, средняя скорость за все время движения будет равна
1.1.2 Автомобиль движется по прямой. На рисунке представлена зависимость скорости автомобиля от пройденного пути. Величины и считайте известными.
Считай, что заданный график даёт скорость как функцию пройденного пути; представь, как по кускам вычисляется время движения.
Воспользуйся определением средней скорости и тем, что на отрезке с известным путём время равно путь, делённый на скорость на этом отрезке.
Разбей весь путь на указанные участки длиной с соответствующими скоростями.
Для каждого участка вычисли время движения через и сложи эти времена.
Найди общее время как сумму и вырази среднюю скорость как отношение полного пути к полученному времени.
1.1.2 В данном случае пройденный путь известен, необходимо рассчитать время движения, что также делается элементарно Средняя скорость равна
Задача 1.2 Средняя сила.
1.1.2 Найдите среднюю скорость точки на всем пути .
Задача 1.2 Средняя сила.
Пусть тело движется по прямой под действием переменной результирующей силы , направление которой совпадает с направлением вектора скорости тела.
Определение 1. «Средней импульсной» силой назовем такую постоянную силу, которая сообщает телу такой же импульс, как и заданная переменная сила .
Определение 2. «Средней энергетической» силой назовем такую постоянную силу, которая на всем участке пути совершает над телом такую же работу, как и переменная сила .
Тело массы движется по прямой под действием переменной результирующей силы , направление которой совпадает с направлением вектора скорости тела. Зависимость модуля этой силы от времени показана на рисунке. Величины и считайте известными. В начальный момент времени скорость тела равна .
Считай, что заданный график даёт скорость как функцию пройденного пути; представь, как по кускам вычисляется время движения.
Воспользуйся определением средней скорости и тем, что на отрезке с известным путём время равно путь, делённый на скорость на этом отрезке.
Разбей весь путь на указанные участки длиной с соответствующими скоростями.
Для каждого участка вычисли время движения через и сложи эти времена.
Найди общее время как сумму и вырази среднюю скорость как отношение полного пути к полученному времени.
1.1.2 В данном случае пройденный путь известен, необходимо рассчитать время движения, что также делается элементарно Средняя скорость равна
Задача 1.2 Средняя сила.
1.2.1 Рассчитайте, чему равна «средняя импульсная» сила, действующая на тело, за все время движения .
1.2.1 Согласно второму закону Ньютона изменение импульса тела равно импульсу действующей силы Данное в условии задачи определение «средней импульсной» силы может быть записано в виде соотношения Откуда следует, что «средняя импульсная» сила в данном случае равна
1.2.2 Рассчитайте, чему равна «средняя энергетическая» сила, действующая на тело, за все время движения .
1.2.2 Работа, совершенная постоянная силой, рассчитывается по формуле
Из определения «средней энергетической» силы следует соотношение где - путь, пройденный телом на - том участке. Для расчета этих путей следует воспользоваться законами равноускоренного движения:
изменение скорости
пройденный путь где - скорости в начале и конце рассматриваемого временного интервала, - постоянное ускорение на данном интервале. Обозначим Тогда ускорение на первом временном интервале будет равно , на втором - , на третьем - Для удобства представим все расчеты таблице. В последней строке суммарный пройденный путь и суммарная совершенная работа Таблица расчетов.
интервал времени
ускорение
начальная скорость
конечная скорость
Пройденный путь
Работа на участке времени скорость скорость путь
В итоге с помощью формулы (5) получаем, что «средняя энергетическая» сила равна
1.2.3 Рассчитайте «среднюю энергетическую» силу при нулевой начальной скорости
Задача 1.3 Средняя сила тока.
Через резистор, сопротивление которого постоянно и равно , протекает электрический ток. сила которого зависит от времени .
Определение 1. «Средней зарядовой» силой тока назовем силу постоянного тока, при которой заряд, протекающий через резистор за некоторый промежуток времени , равен заряду, протекающему через резистор за тот же промежуток времени при изменяющейся силе тока .
Определение 2. «Средней тепловой» силой тока назовем силу постоянного тока, при которой количество теплоты, выделяющейся на резисторе за промежуток времени , равно количеству теплоты, выделяющейся на резисторе за тот же промежуток времени при изменяющейся силе тока .
Напряжение на постоянном резисторе, сопротивление которого равно , изменяется по периодическому закону , график которого показан на рисунке. Величины и считайте известными.
Посмотри на формулу из предыдущего пункта и представь предельный случай, когда начальная скорость равна нулю.
Продолжай использовать расчёт путей через равноускоренное движение и формулу работы; подставь в выражения прежде чем упрощать.
Возьми выражение для суммарной работы и суммарного пути, полученные в пункте 1.2.2.
Подставь в них и упростите выражения для работ и путей на отдельных интервалах.
Соберите отношение суммарной работы к суммарному пути, соответствующее определению средней энергетической силы.
Выразите числовое отношение в предельном случае из полученного равенства.
1.2.3 При из формулы (9) получаем что отличается от «средней импульсной» силы.
Задача 1.3 Средняя сила тока.
В условии задачи задана зависимость напряжения от времени . Зависимость силы тока от напряжения будет аналогичной. Обозначим
значение силы тока через резистор, при напряжении .
Так как сила тока изменяется по периодическому закону, то достаточно рассчитать средние значения по одному периоду изменения тока. В условии задачи
1.3.1 Вычислите «среднюю зарядовую» силу тока за промежуток времени значительно превышающий .
Подумай, как заряд, прошедший через резистор, связан с силой тока и временем: что считается суммарно за период?
Используй связь заряда и тока ; для периодического закона можно брать усреднение по одному периоду.
Разбей период по участкам, показанным на графике, и для каждого выпишите соответствующую постоянную по модулю составляющую напряжения (и тока).
Для каждого участка вычисли переданный заряд как произведение силы тока на длительность участка и суммируй заряды за период.
Приравняй заряд, создаваемый постоянной средней зарядовой силой тока, умноженной на период, к найденному суммарному заряду.
Выразите среднюю зарядовую силу тока из этого равенства.
1.3.1 Заряд, протекающий через резистор при постоянной силе тока за промежуток времени определяется по формуле Поэтому по определению средней зарядовой силы тока можно записать формулу для расчета этой средней силы Используя приведенный в условии график зависимости , находим «среднее зарядовое» значение силы тока
1.3.2 Вычислите «среднюю тепловую» силу тока за промежуток времени значительно превышающий .
1.3.2 Количество теплоты, выделяющейся в проводнике при протекании постоянного тока, определяется законом Джоуля – Ленца Поэтому для «средней тепловой» силы тока следует записать Из последней формула находим «среднее тепловое» значение силы тока
Заметим, что «среднее тепловое» называется «действующим» значением силы тока и широко используется в электротехнике.
Задача 9-1
Повторим физику
Разминка
У
Р
Б
П
≈2/5
Т1
Вниз по ступенькам
Средние скорости
Задача 9-4