Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.*В классическом вальсе партнеры кружатся вокруг друг друга и одновременно движутся по кругу. В космическом вальсе - Земля и Луна вращаются вокруг общей оси и медленно движутся вокруг Солнца!
Оставим задачу о физике вальса на будущее, разберемся с более простой физической задачей о одной пары: Луны и Земли.*
Для упрощения будем считать, что траектории движения этих тел лежат в одной плоскости, все орбиты круговые, Земля имеет форму идеального шара.
Примем во внимание, что в характеристиках движения Земли есть очень «странные совпадения»: период вращения Земли вокруг своей оси равен точно одним суткам, период обращения вокруг Солнца в точности равен одному году, период обращения Луны вокруг Земли равен месяцу (правда, примерно). И еще один неожиданный факт – расстояние от Земли до Луны – одна световая секунда. Правда, сейчас, в век искусственного интеллекта, помнить эти данные и не обязательно – всегда можно спросить у Алисы (если нет интеллекта своего).
В конце данного задания приведены (округленно) значения параметров рассматриваемой пары тел, которые могут понадобиться при решении задачи. Рекомендуем добавить в таблицу значения угловых скоростей вращения рассматриваемых тел. Жюри это оценит.
Небольшие подсказки.
- При описании движения во вращающейся системе отсчета (которая является неинерциальной), вместо перехода в инерциальную систему, удобно ввести центробежную силы. Эта сила, действующая на любое тело, по модулю равна
( - масса тела, - угловая скорость вращения системы отсчета относительно какой-либо инерциальной системы, - расстояние до оси вращения). Сила направлена по прямой перпендикулярной оси вращения от нее, радиально. Обозначайте эти силы «со звездочкой» - .
Впрочем, еще А.Эйнштейн показал, что эта сила, как и другие силы инерции, принципиально неотличимы от гравитационных сил, или гравитационные силы ... тоже силы инерции.
Во всех частях задачи рекомендуем произведение гравитационной постоянной на массу центрального тела
выразить через кинематические характеристики – угловые скорости и радиусы орбит. Математическая подсказка. В данной задаче много малых величин, поэтому рекомендуем использовать различные обоснованные приближения. В частности известную формулу, справедливую при малых
. Для любого показателя степени (целого, дробного, положительного, отрицательного и даже комплексного...) можно использовать выражение:
в этой формуле каждое следующее слагаемое меньше предыдущего, поэтому можно оставлять столько слагаемых, сколько Вы посчитаете необходимым.
1.1 Рассчитайте, на сколько увеличится высота прыжка (при той же начальной вертикальной скорости) на экваторе по сравнению с высотой прыжка на полюсе.
Сравни, как на полюсе и на экваторе действуют силы на прыгуна — что меняется при вращении Земли? Нарисуй векторную диаграмму сил на экваторе и на полюсе.
Учитывай, что на экваторе к гравитации добавляется центробежное ускорение
- Запиши выражения для эффективного ускорения свободного падения на полюсе и на экваторе:
и . - Вырази высоту прыжка через начальную скорость и соответствующее ускорение
и запиши отношение высот. - Разверни отношение, сохрани только первую по размеру поправку по малой безразмерной величине
. - Выразите величину приращения высоты
через и полученную относительную поправку (т.е. выразите из полученной системы).
1.1 Как следует из рисунка, уменьшение ускорения обусловлено центробежной силой и равно
Здесь малой поправкой является центробежное ускорение. В качестве «меры» этой поправки служит безразмерная величина
Угловая скорость вращения Земли
величина центробежного ускорения
Относительное значение поправки
Таким образом, все поправки связанные с вращением Земли будут иметь такой порядок!
Запишем простую, но важную формулу, позволяющую проводить расчеты поправок, почти «в уме». Пусть
В частности, эта формула широко используется при расчете погрешностей косвенный измерений: например, погрешность измерения радиуса шара равна 2%, тогда погрешность измерения его объема в три раз больше, т.е. 6%
Вернемся к решению задачи. Высота прыжка равна
Следовательно, относительное изменение этой высоты равно
2.1 Рассчитайте гравитационное ускорение на поверхности Луны
Подумай, как связаны массы и радиусы Земли и Луны с ускорением свободного падения на их поверхностях; полезно сравнить с земными величинами.
Используй закон всемирного тяготения в виде
- Запиши
и . - Раздели одно выражение на другое, чтобы избавиться от
и получить через и . - Подставь обозначение
и получи формулу для через . - Выразите
из полученного соотношения.
2.1 Гравитационное ускорение на поверхности Луны проще найти, если записать формулу для отношения
Далее немного подумаем: речь идет об изменении силы притяжения к Земле (следовательно, и ускорений) при малом изменении расстояния до Земли – в пределах диаметра Луны. Пусть тело находится на расстоянии
где
2.2 Рассчитайте численное значение отношения силы притяжения некоторого тела на поверхности Луны к Земле к силе тяжести на Луне
Рассмотрим две точки на поверхности Луны на ее экваторе: в точке A, для которой Земля находится в зените, и противоположную точку
Представь тело на поверхности Луны: на него действует притяжение Земли, которое меняется от центра Луны к поверхности — это малая поправка.
Запиши силу притяжения к Земле как
- Запиши точную формулу
и введи безразмерный параметр или . - Разверни
в ряд и оставь главный член (оценить порядок остальных членов). - Вырази
через с помощью уравнения для обращения Луны вокруг Земли. - Подставь это в разложение и получите выражение для отношения
; выразите искомое отношение из полученной системы.
2.2 Сила притяжения к Земле для тела находящегося в пределах Луны, определяется формулой (5). Выразим величину
И запишем требуемое отношение для произвольного положения тела в пределах Земли
Сколько слагаемых взять в этой формуле? Достаточно одного (т.е. 1) – остальные дадут поправку в пятом знаке.
Поэтому следует принять окончательный результат (обозначим это отношение
2.3 Рассчитайте относительную разность ускорений свободного падения в точках A и B
В двух противоположных точках на Луне гравитация Земли направлена навстречу или по направлению к центру Земли — какое будет отличие в ускорениях?
Запиши ускорения в точках как сумма гравитационного ускорения Луны и добавочного ускорения от Земли:
- Запиши
и , учитывая направление сил. - Предположи, что изменение
при переходе от A к B мало и можно взять в нулевом приближении; запиши разность . - Вырази относительную разность
через и упростите, оставив ведущий член. - Выразите
из полученной системы.
2.3 Запишем выражение для ускорения свободного падения в указанных точках (с учетом направления сил – см. рисунок)
Их относительная разность равна
Понятно, что и в этом случае можно пренебречь поправками к силе притяжения Земли, т.е. считать, что
2.4 Рассчитайте это же отношение с учетом движения Луны вокруг Земли (т.е. с учетом центробежных сил).
Теперь добавь центробежную силу, связную с вращением Луны вокруг Земли: она имеет разное влияние в точках поближе и подальше от Земли.
В неинерциальной системе Луны добавь центробежное ускорение
- Запиши дополненные выражения для
с учётом гравитации Луны, притяжения Земли и центробежного ускорения (с соответствующими знаками). - Сложи выражения и возьми их разность
, сокращая общие члены. - Оставь только ведущие по порядку малые члены; укажи, как центробежный член меняет результат по сравнению с чисто гравитационным случаем.
- Выразите итоговое отношение
(с учётом центробежных сил) из полученной системы.
2.4 С учетом центробежных сил в формулы (9) следует добавить еще одно слагаемое:
Центробежные силы действуют в противоположном направлении (см. рисунок). Поэтому из найденной разности (10), надо вычесть сумму модулей центробежных сил, а уж подсчитать эту разность проблем не возникает (причем, безо всяких приближений):
Теперь внимание: эта сумма в точности равна найденной поправке (10), обусловленной притяжением Солнца! Так, что же влияние Солнца исключено полностью? Нет – мы же использовали только начальное приближение в выражении для силы солнечного притяжения, следовательно, надо использовать более точное приближение. То есть считать, Сумму модулей сил точнее:
В итоге получаем относительную разность ускорений, обусловленную влиянием Солнца:
3.1 Рассчитайте численное значение отношения силы притяжения к Луне и силы тяжести для тела, находящегося на поверхности Земли
Пренебрежем движением Земли (т.е. будем ее считать абсолютно неподвижной).
Оцени, насколько сильна сила притяжения Луны по сравнению с земным весом для тела на поверхности Земли; расстояние значительно больше радиуса Земли.
Используй закон тяготения в форме
- Запиши
. - Сократи
и подставь ; получите выражение через и . - Оцени порядок величины и оставь ведущий член без дальнейших поправок.
- Выразите искомое отношение
из полученной системы.
3.1 Отношение силы притяжения к Луне к силе притяжения к Земле
3.2 Рассчитайте относительную разность ускорений свободного падения, обусловленную только гравитационным притяжением к Луне
А теперь вспомним, как кружатся партнеры в Вальсе – они движутся оба!
На двух точках Земли, под и над Луной, гравитация Луны направлена в одну сторону, поэтому их ускорения тяжести будут слегка различаться — подумай, как это связано с изменением расстояния до Луны.
Запиши
- Запиши
для точек A и B и введите безразмерный малый параметр . - Разложи
в ряд и оставь первые два члена для разности. - Найдите
и поделите на чтобы получить , сохранив только ведущий вклад. - Выразите искомое отношение
из полученной системы.
3.2 Относительное изменение ускорения свободного падения (по аналогии с выводом формулы (10))
3.3 Укажите вокруг какой точки вращается Луна и Земля.
В паре, где оба тела движутся, центры круговых орбит не совпадают с центрами самих тел — подумай, где их общий центр масс относительно Земли и Луны.
Укажи, что Луна и Земля вращаются вокруг общего центра масс (барицентра), находящегося на расстоянии, обратном пропорционального массам:
- Напиши условие определения центра масс системы Земля–Луна как точку, где суммы моментов масс равны нулю.
- Вырази расстояние от центра Земли до барицентра через
и отношение масс (без подстановки чисел). - Скажи, на какой стороне от центра Земли лежит барицентр и сравни это расстояние с радиусом Земли.
- Выразите положение барицентра (расстояние) из полученной системы.
3.3 Далее необходимо принять во внимание, что вращение происходит вокруг общего центра масс системы Земля – Луна.
Используем заданное значение отношения масс
и условие, определяющее положение центра масс
Численное значение показывает, что он находится внутри Земли на расстоянии
от ее центра
(примерно на середине радиуса).
3.4 Рассчитайте относительную разность ускорений свободного падения, обусловленную не только гравитационным притяжением к Луне
Справочные данные (используйте в решении указанные обозначения этих величин)
| Гравитационное ускорение на поверхности Земли | м/с |
||
|---|---|---|---|
| Гравитационное ускорение на поверхности Луны | |||
| Радиус Земли | м | ||
| Радиус Луны | м | ||
| Расстояние до Луны | м | ||
| Сутки | час | ||
| Угловая скорость вращения Земли | |||
| Лунный месяц | сут | ||
| Угловая скорость Луны | |||
| Отношение массы Луны к массе Земли |
Теперь учти, что Земля движется вокруг барицентра: это добавляет центробежное ускорение на её поверхности, меняющее разность тяжестей в точках A и B.
В неинерциальной системе Земли добавь центробежное ускорение, равное
- Запиши полные выражения для ускорений в точках A и B: учти
, гравитацию Луны и центробежное ускорение, зависящее от расстояния до барицентра (с соответствующими знаками). - Разложи члены по малым параметрам
и и оставь ведущие по порядку вклады. - Вычисли разность
, отметив вклад центробежного члена, и поделишь на для получения . - Выразите окончательное отношение
(с учётом движения Земли вокруг барицентра) из полученной системы.
3.4 Земля вращается вокруг оси, проходящей через центр масс системы Земля – Луна, поэтому центробежные силы с разных сторон Земли различны, что необходимо учесть при расчетах.
Далее записываем выражения для сил тяжести. действующих в рассматриваемых точках
И находим их разность
Отметим, при отсутствии вращения Земли вокруг Луны Выражении в скобках было бы равно нулю и это привело бы к катастрофическим последствиям на Земле, например, к высочайшим приливам!
Разность центробежных сил рассчитывается элементарно:
Гравитационную силу
Тогда выражение для гравитационной силы может быть записано в виде
Сумма гравитационных сил в нулевом приближении
в точности равна разности центробежных сил. Иными словами, центробежные силы «спасают» Землю!
Следовательно, для расчета разности ускорений необходимо использовать более высокое приближение для гравитационных сил, т.е. формулу (5). Для рассматриваемых точек
Тогда сумма гравитационных сил представляется в виде
Нулевое приближение исчезает, благодаря центробежным силам. В первом приближении сумма
отлична от нуля. Поэтому этого приближения достаточно! Получаем, что разность сил описывается формулой
или
Похожие задачи
Неоднородное гравитационное полевар. 2
Сила гравитационного взаимодействия зависит от расстояния между взаимодействующими телами. Поэтому гравитационные поля, в общем случае, являются …
У Р Б П ≈3/5 Т2
Миг невесомости
Рассмотрим механическую систему, образованную из тонкого гладкого проволочного кольца массой
Лихо закручено
Справочные данные и параметры рассматриваемых систем:* трением и сопротивлением воздуха в данном задании пренебречь, ускорение свободного падения …
У Р Б П ≈4/5 Т2
Как измеряли Вселенную
Данное задание состоит из 4 связанных между собой задач.
В задаче используется современная система единиц.
Во всех частях задания обязательно …
Алгебра и геометрия на наклонной плоскости
Кто-то умеет хорошо строить диаграммы векторов сил и предпочитает решать динамические задачи «геометрически». Кто-то рисовать совсем не умеет, и ему …
У Р Б П ≈4/5 Э3
Скатывание без проскальзывания
Существует множество задач, в которых брусок движется по наклонной плоскости при наличии трения. В зависимости от коэффициента трения и угла наклона …
У Р Б П ≈4/5