Сравни, как на полюсе и на экваторе действуют силы на прыгуна — что меняется при вращении Земли? Нарисуй векторную диаграмму сил на экваторе и на полюсе.

Учитывай, что на экваторе к гравитации добавляется центробежное ускорение , поэтому эффективное ускорение равно гравитационному минус центробежное.

1. Запиши выражения для эффективного ускорения свободного падения на полюсе и на экваторе: и .
2. Вырази высоту прыжка через начальную скорость и соответствующее ускорение и запиши отношение высот.
3. Разверни отношение, сохрани только первую по размеру поправку по малой безразмерной величине .
4. Выразите величину приращения высоты через и полученную относительную поправку (т.е. выразите из полученной системы).

Подумай, как связаны массы и радиусы Земли и Луны с ускорением свободного падения на их поверхностях; полезно сравнить с земными величинами.

Используй закон всемирного тяготения в виде и вырази отношение через отношение масс и квадрат радиусов.

1. Запиши и .
2. Раздели одно выражение на другое, чтобы избавиться от и получить через и .
3. Подставь обозначение и получи формулу для через .
4. Выразите из полученного соотношения.

Представь тело на поверхности Луны: на него действует притяжение Земли, которое меняется от центра Луны к поверхности — это малая поправка.

Запиши силу притяжения к Земле как и разложи по малому параметру ; для величины перед скобкой используй связь из центростремительного равновесия Луны.

1. Запиши точную формулу и введи безразмерный параметр или .
2. Разверни в ряд и оставь главный член (оценить порядок остальных членов).
3. Вырази через с помощью уравнения для обращения Луны вокруг Земли.
4. Подставь это в разложение и получите выражение для отношения ; выразите искомое отношение из полученной системы.

В двух противоположных точках на Луне гравитация Земли направлена навстречу или по направлению к центру Земли — какое будет отличие в ускорениях?

Запиши ускорения в точках как сумма гравитационного ускорения Луны и добавочного ускорения от Земли: , используйте разложение по малому параметру для как в пункте 2.2.

1. Запиши и , учитывая направление сил.
2. Предположи, что изменение при переходе от A к B мало и можно взять в нулевом приближении; запиши разность .
3. Вырази относительную разность через и упростите, оставив ведущий член.
4. Выразите из полученной системы.

Теперь добавь центробежную силу, связную с вращением Луны вокруг Земли: она имеет разное влияние в точках поближе и подальше от Земли.

В неинерциальной системе Луны добавь центробежное ускорение (радиально от оси) и учти его знак в выражениях для ; используй разложение по малому параметру, как раньше.

1. Запиши дополненные выражения для с учётом гравитации Луны, притяжения Земли и центробежного ускорения (с соответствующими знаками).
2. Сложи выражения и возьми их разность , сокращая общие члены.
3. Оставь только ведущие по порядку малые члены; укажи, как центробежный член меняет результат по сравнению с чисто гравитационным случаем.
4. Выразите итоговое отношение (с учётом центробежных сил) из полученной системы.

Оцени, насколько сильна сила притяжения Луны по сравнению с земным весом для тела на поверхности Земли; расстояние значительно больше радиуса Земли.

Используй закон тяготения в форме и вырази отношение к тяжести через , применив соотношение масс и радиусов, как в пункте 2.1.

1. Запиши .
2. Сократи и подставь ; получите выражение через и .
3. Оцени порядок величины и оставь ведущий член без дальнейших поправок.
4. Выразите искомое отношение из полученной системы.

На двух точках Земли, под и над Луной, гравитация Луны направлена в одну сторону, поэтому их ускорения тяжести будут слегка различаться — подумай, как это связано с изменением расстояния до Луны.

Запиши и разложи по малому параметру (радиус Земли/расстояние до Луны), сохрани ведущие члены.

1. Запиши для точек A и B и введите безразмерный малый параметр .
2. Разложи в ряд и оставь первые два члена для разности.
3. Найдите и поделите на чтобы получить , сохранив только ведущий вклад.
4. Выразите искомое отношение из полученной системы.

В паре, где оба тела движутся, центры круговых орбит не совпадают с центрами самих тел — подумай, где их общий центр масс относительно Земли и Луны.

Укажи, что Луна и Земля вращаются вокруг общего центра масс (барицентра), находящегося на расстоянии, обратном пропорционального массам: от центра Земли (и аналогично для Луны).

1. Напиши условие определения центра масс системы Земля–Луна как точку, где суммы моментов масс равны нулю.
2. Вырази расстояние от центра Земли до барицентра через и отношение масс (без подстановки чисел).
3. Скажи, на какой стороне от центра Земли лежит барицентр и сравни это расстояние с радиусом Земли.
4. Выразите положение барицентра (расстояние) из полученной системы.

Теперь учти, что Земля движется вокруг барицентра: это добавляет центробежное ускорение на её поверхности, меняющее разность тяжестей в точках A и B.

В неинерциальной системе Земли добавь центробежное ускорение, равное умноженное на расстояние до оси вращения (расстояние до барицентра); запиши полные выражения для с гравитацией Луны и центробежным членом.

1. Запиши полные выражения для ускорений в точках A и B: учти , гравитацию Луны и центробежное ускорение, зависящее от расстояния до барицентра (с соответствующими знаками).
2. Разложи члены по малым параметрам и и оставь ведущие по порядку вклады.
3. Вычисли разность , отметив вклад центробежного члена, и поделишь на для получения .
4. Выразите окончательное отношение (с учётом движения Земли вокруг барицентра) из полученной системы.