1.1 Как следует из рисунка, уменьшение ускорения обусловлено центробежной силой и равно

Здесь малой поправкой является центробежное ускорение. В качестве «меры» этой поправки служит безразмерная величина . Вычислим ее численное значение.

Угловая скорость вращения Земли ;

величина центробежного ускорения ;

Относительное значение поправки . Всего-то, чуть более трех десятых процента.

Таким образом, все поправки связанные с вращением Земли будут иметь такой порядок!

Запишем простую, но важную формулу, позволяющую проводить расчеты поправок, почти «в уме». Пусть ( - любое); тогда

В частности, эта формула широко используется при расчете погрешностей косвенный измерений: например, погрешность измерения радиуса шара равна 2%, тогда погрешность измерения его объема в три раз больше, т.е. 6%

Вернемся к решению задачи. Высота прыжка равна

Следовательно, относительное изменение этой высоты равно . Отсюда получаем

2.1 Гравитационное ускорение на поверхности Луны проще найти, если записать формулу для отношения

Далее немного подумаем: речь идет об изменении силы притяжения к Земле (следовательно, и ускорений) при малом изменении расстояния до Земли – в пределах диаметра Луны. Пусть тело находится на расстоянии от центра Луны. Тогда сила его притяжения к Солнцу в соответствии с законом всемирного тяготения равна (запишем точную формулу и ее приближение с помощью формулы, приведенной в условии):

где - сила притяжения тела, находящегося в центре Луны; - отношение смещения от центра к радиусу лунной орбиты – относительное смещение. Если тело находится на поверхности Луны это относительное смещение равно — вот ожидаемый порядок относительных поправок, связанных с притяжением Солнца.

2.2 Сила притяжения к Земле для тела находящегося в пределах Луны, определяется формулой (5). Выразим величину через более понятные величины, используя второй закон Ньютона для движения Луны по круговой орбите

И запишем требуемое отношение для произвольного положения тела в пределах Земли

Сколько слагаемых взять в этой формуле? Достаточно одного (т.е. 1) – остальные дадут поправку в пятом знаке.
Поэтому следует принять окончательный результат (обозначим это отношение ):

2.3 Запишем выражение для ускорения свободного падения в указанных точках (с учетом направления сил – см. рисунок)


Их относительная разность равна


Понятно, что и в этом случае можно пренебречь поправками к силе притяжения Земли, т.е. считать, что . Ответ очевиден: с ближней стороны притяжение Земли уменьшает ускорение свободно падения, с дальней – увеличивает его на одну и ту же величину. Поэтому, кажется, что в полдень прыгать в высоту проще.

2.4 С учетом центробежных сил в формулы (9) следует добавить еще одно слагаемое:


Центробежные силы действуют в противоположном направлении (см. рисунок). Поэтому из найденной разности (10), надо вычесть сумму модулей центробежных сил, а уж подсчитать эту разность проблем не возникает (причем, безо всяких приближений):

Теперь внимание: эта сумма в точности равна найденной поправке (10), обусловленной притяжением Солнца! Так, что же влияние Солнца исключено полностью? Нет – мы же использовали только начальное приближение в выражении для силы солнечного притяжения, следовательно, надо использовать более точное приближение. То есть считать, Сумму модулей сил точнее:


В итоге получаем относительную разность ускорений, обусловленную влиянием Солнца:

3.1 Отношение силы притяжения к Луне к силе притяжения к Земле

3.2 Относительное изменение ускорения свободного падения (по аналогии с выводом формулы (10))

3.3 Далее необходимо принять во внимание, что вращение происходит вокруг общего центра масс системы Земля – Луна.
Используем заданное значение отношения масс
и условие, определяющее положение центра масс


Численное значение показывает, что он находится внутри Земли на расстоянии

от ее центра
(примерно на середине радиуса).

3.4 Земля вращается вокруг оси, проходящей через центр масс системы Земля – Луна, поэтому центробежные силы с разных сторон Земли различны, что необходимо учесть при расчетах.
Далее записываем выражения для сил тяжести. действующих в рассматриваемых точках


И находим их разность

Отметим, при отсутствии вращения Земли вокруг Луны Выражении в скобках было бы равно нулю и это привело бы к катастрофическим последствиям на Земле, например, к высочайшим приливам!
Разность центробежных сил рассчитывается элементарно:

Гравитационную силу также выразим через угловую скорость вращения Луны. Из уравнения 2 закона Ньютона для движения Луны по круговой орбите находим

Тогда выражение для гравитационной силы может быть записано в виде

Сумма гравитационных сил в нулевом приближении

в точности равна разности центробежных сил. Иными словами, центробежные силы «спасают» Землю!
Следовательно, для расчета разности ускорений необходимо использовать более высокое приближение для гравитационных сил, т.е. формулу (5). Для рассматриваемых точек


Тогда сумма гравитационных сил представляется в виде


Нулевое приближение исчезает, благодаря центробежным силам. В первом приближении сумма

отлична от нуля. Поэтому этого приближения достаточно! Получаем, что разность сил описывается формулой

или