Жми на газ! — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2026 9 класс № 3

Часть 1. Сопротивлением воздуха пренебрегаем!

1.1

1.1 Максимальное ускорение автомобиля определяется максимальной силой трения и равно

$м$ (1)

Поэтому, на первый взгляд, кажется, что минимальное время разгона равно

$м с м с с$ . (2)

Однако, необходимо проверить, хватает ли мощности автомобиля, чтобы все время обеспечивать максимальное ускорение. Представим мощность автомобиля в виде

(3)

И рассчитаем, при какой скорости требуемая мощность достигает максимального значения

$Вт кг м с м с км час$ . (4)

Таким образом, автомобиль может разгоняться с максимальным ускорение только до скорости . На этот участок разгона потребуется время

$с$ . (5)

Далее разгон автомобиля будет определяться максимальной мощностью автомобиля. При постоянной мощности время разгона может быть рассчитано из уравнения

(6)

Итого, минимальное время разгона при оптимальном управлении равно

$с$ . (7)

1.2

1.2 Если ведущими являются только одна пара колес, то силы реакции, действующие на передние и на задние колеса, будут различными, поэтому будут различаться и силы трения, что приведет к различным ускорениям автомобиля.

Изобразим силы, действующие на автомобиль во время разгона.

Сила трения, разгоняющая автомобиль равна (индекс 1 -- ведущие задние колеса, индекс 2 -- ведущие передние колеса)

$тр$ . (1)

Для расчета сил реакции запишем условие равенства вертикальных проекций сил

. (2)

Автомобиль практически не поворачивается вокруг горизонтальной оси. Поэтому сумма моментов сил, действующих на автомобиль равна нулю. Запишем это условия для оси, проходящей через центр масс\footnote{Отметим, что при выборе другой точки, относительно которой рассматриваются моменты, необходимо учитывать силы инерции.} автомобиля

$тр$ . (3)

Если ведущими являются задние колеса, то из формул (1) - (3) получаем

. (4)

В этом случае ускорение автомобиля равно

$м с$ . (5)

Если ведущими являются передние колеса, то из (1) -- (3) имеем

. (6)

В этом случае ускорение будет меньше

$м с$ . (7)

2.1

2.1 Наиболее явным доказательством применимости предложенной формулы для силы сопротивления может служить график зависимости силы сопротивления от квадрата скорости. Такой график можно построить на основании имеющихся данных.

Уравнение второго закона Ньютона при движении автомобиля в данном случае имеет вид

(8)

Считая (в соответствии с подсказкой) движение на каждом стометровом участке равноускоренным, можно рассчитать среднее ускорение на участке от до по формуле

. (9)

Для повышения точности следует также взять значение средней скорости на этом же участке

(10)

Тем самым появляется возможность построения линейной зависимости ():

. (11)

Результаты расчетов приведены в таблице.

Таблица 1. Расчет зависимости силы от квадрата скорости.

$м$	$м$
0	30,00
100	27,33	28,67	0,765	821,68	1301,1
200	24,57	25,95	0,716	673,40	1217,6
300	21,67	23,12	0,670	534,53	1139,8
400	18,56	20,12	0,626	404,61	1063,5
500	15,08	16,82	0,585	282,91	995,1
600	10,85	12,97	0,548	168,09	932,3
700	3,92	7,39	0,512	54,54	870,0

График этой зависимости показан на рисунке. Линейность полученного графика однозначно доказывает, что сила сопротивления воздуха действительно пропорциональная квадрату скорости.

2.2

2.2 По графику легко найти коэффициент наклона прямой $кг м$ и ее сдвиг .

По этим значениям находим требуемые параметры

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи