Задача 9-1 — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2001 9 класс № 1

1.1

1.1 Запишем закон движения снаряда в системе отсчета, ось которой горизонтальна, а ось вертикальна, начало отсчета совпадает с точкой вылета

Вычислим прежде всего время полета снаряда . Полагая , из второго уравнения системы находим

$с$

Итак, во время разрыва снаряд будет находиться в воздухе. Поэтому расстояние до него и время распространения звука можно вычислить с помощью закона движения (1)

$зв зв с$

Можно подсчитать высоту и расстояние, на которой произошел разрыв

$м м$

и далее использовать эти значения.

1.2

1.2 Скорость каждого осколка можно представить как сумму скорости снаряда в момент разрыва и скорости осколка относительно снаряда . Направления этих скоростей удобно определять по углам отклонения от горизонта.

Запишем координаты (в той же системе) осколка через время после разрыва

подставив значения координат и компонент скорости снаряда в момент разрыва, получим закон движения

который можно привести к виду

Эти уравнения допускают простую интерпретацию: движение осколков можно представить как сумму (суперпозицию) движения их центра по той же параболе, по которой бы двигался неразорвавшийся снаряд, и равномерного и прямолинейного движения относительно этого центра.

Таким образом, облако осколков в любой момент времени будет представлять собой шар, центр которого находится на параболе, описываемой системой (1), а радиус определяться скоростью самых быстрых осколков .

Через время после разрыва координаты центра «облака» будут равны

$к м к м$

Радиус облака $к м$ . Таким образом, это облако частично будет «поглощено» поверхностью земли.

1.3

1.3 Время $с$ примерно соответствует времени движения неразорвавшегося снаряда, поэтому в этот момент центр облака коснется поверхности земли. Следовательно, в полете будет находится примерно половина осколков, их масса $к г$ .

1.4

1.4 Для определения относительных скоростей осколков удобно перейти в систему отсчета, связанную с центром облака . (Эта система отсчета, конечно, неинерциальная, но так нас интересуют только кинематические проблемы, то неинерциальность системы никакой роли не играет). В этой системе отсчета скорости осколков постоянны и направлены радиально. Если за время осколок пролетел расстояние , то его скорость равна . Учитывая направление скорости, это соотношение можно записать в векторной форме . Тогда относительная скорость одного осколка (первого) относительно второго равна разности их скоростей

$отн$

что и требовалось доказать. Как следует из данной формулы, требуемый коэффициент пропорциональности равен

1.5

1.5 Закон Хаббла совпадает с полученным законом разлета осколков (6), поэтому постоянная Хаббла есть величина обратно пропорциональная времени существования вселенной. Поэтому время жизни Вселенной можно оценить,

как величину обратную этой постоянной . Для численных расчетов постоянную Хаббла необходимо перевести в систему СИ. Вычислим длину светового года (достаточная точность - порядок величины)

$с в г о д м с м м$

Тогда

$км с в г о д м м$

Оценка максимального времени жизни Вселенной имеет вид

$л е т л е т$

Вторая граница в два раза меньше. Таким образом, время жизни Вселенной оценивается в 10-20 миллиардов лет.

Схема оценивания.

Пункт	Содержание	Баллы	Примечания
1.1	Расчет времени распространения звука - закон движения снаряда - равномерность распространения звука - численный расчет	5	2 1 2
1.2	Форма «облака» - закон движения осколков - разложение движения на составляющие - облако - шар - численный расчет координат центра и радиуса	5	1 2 1 1
1.3	Масса осколков в воздухе	1
1.4	Относительная скорость - использование системы отсчета - скорость пропорциональна расстоянию до центра - выражение для относительной скорости - правильное значение коэффициента пропорциональности	4	1 2 1 1
1.5	Время жизни Вселенной - использование аналогии с разлетом осколков - время жизни обратно постоянной Хаббла - численный расчет	5	1 2 2
	ИТОГО	20
	За неверное число значащих цифр		-2

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи