Рассмотрим общий случай движения шарика вокруг цилиндра, т.е. движение с угловым ускорением и в поле тяжести . Переход к частным случаям очевиден – либо , либо (либо и то и другое).

Положение шарика будем задавать с помощью угла - между горизонталью и отрезком, соединяющим центры вала и шарика. Зададим также угол между радиусами вала, направленными к точке касания вала и шарика и точке, в которой нить касается поверхности вала (см. рис.). Понятно, что угол полностью определяется отношением радиусов вала и шарика. Так , или

.

Шарик движется под действием: силы тяжести ; силы натяжения нити ; силы реакции .

В общем случае ускорение шарика можно разложить на нормальную

и тангенциальную составляющие

Запишем уравнение второго закона Ньютона

в проекциях на радиальное и касательное направления

При отрыве шарика от поверхности вала сила реакции устремляется к нулю (до этого она должна быть положительной). Выразим из системы уравнений (4) значение силы реакции :

Из этого соотношения определим функцию

знак которой определяет условие отрыва (повторим, отрыв произойдет, когда положительная функция уменьшится до нуля).

1. Когда вал расположен вертикально () и начинает вращаться с постоянной () угловой скоростью функция (5) имеет вид

она отрицательна при любых значениях параметров системы. Следовательно, шарик оторвется от поверхности вала сразу после начала движения, т.е. в этом случае .

2. Если вал расположен вертикально и начинает вращаться с постоянным угловым ускорением, функция (5) имеет вид

Учитывая, что угловая скорость зависит от времени по закону , заключаем, что сначала эта функция положительна, а затем обращается в нуль. Следовательно, шарик сначала будет прижат к поверхности вала, а затем оторвется от нее, причем это произойдет в момент времени

3а. Если вал расположен горизонтально, начинает вращаться с постоянной угловой скоростью, первоначально нить расположена вертикально (при ), функция (5) имеет вид

и в начальный момент времени отрицательна. Следовательно, шарик сразу после начала движения, т.е. при .

3б. Если же первоначально нить горизонтальна (при ), то значение функции (9) при


Поэтому первоначально шарик будет прижат к поверхности вала. Отрыв произойдет, когда эта функция обратится в нуль (причем следует выбрать минимальный положительный корень этой функции), т.е

4. Наконец, нам необходимо рассматривать полную функцию (5). Вал расположен горизонтально, начинает вращаться с постоянным угловым ускорением, первоначально нить расположена вертикально ; эта функция имеет вид

В начальный момент времени эта функция положительна, следовательно, шарик прижат к поверхности вала, для определения момента отрыва нам необходимо найти минимальный положительный корень этой функции. Аналитическое решение уравнения невозможно, необходимо использовать приближенные численные методы. Для анализа решения обозначим , тогда и перепишем уравнение в виде

или обозначая постоянные коэффициенты
, получим уравнение,
которое выглядит достаточно простым,

Построим схематические графики функций, стоящих в правой и левой частях уравнения (13)

5. Чтобы шарик до отрыва совершил полный оборот необходимо, первый положительный корень уравнения был равен . Изобразим графически такую ситуацию. Как следует из этого рисунка, для реализации описанной ситуации должны выполняться следующие соотношения

в этом случае будет являться корнем уравнения;

при выполнении этого условия будут отсутствовать меньшие корни.
Используя выражения для коэффициентов, условие (14) и его решение приобретут вид

Из условия (15) находим