1.1 Очевидно, что скорость трактора равна .

1.2 Дальность полета снаряда, выпущенного из неподвижного орудия, определяется формулой

где - скорость снаряда относительно ствола.
Чтобы достичь максимальной дальности, выстрел, очевидно, необходимо производить в направлении движения платформы. В этом случае к горизонтальной составляющей скорости снаряда относительно пушки добавится скорость движения платформы, поэтому закон движения снаряда будет иметь вид

Определим время полета снаряда (из условия ): и подставим его в выражение для горизонтальной координаты для определения дальности полета

Таким образом, относительное увеличение дальности полета составит

При наличии понимания, решение может быть получено почти мгновенно:
- так как время полета снаряда определяется только вертикальной составляющей скорости, то оно не зависит от скорости платформы;
- дальность полета (при постоянном времени движения) пропорциональна горизонтальной составляющей скорости снаряда;
- следовательно, .

1.3 Чтобы сдвинуть цилиндр, к нему необходимо приложить силу, превышающую силу трения.
Изобразим силы, действующие на цилиндр в проекции на вертикальную плоскость. Так как силы реакции направлены перпендикулярно поверхности, то тройка сил: две силы реакции и сила тяжести направлены под равными углами друг к другу. Так проекция ускорения на вертикальную плоскость равна нулю, то сумма изображенных сил также равна нулю. Следовательно, модули этих сил равны, то есть . Таким образом, суммарная сила трения (и искомая сила) равна .

1.4 Суммарная сила давления воды на дно и стенки сосуда по модулю равна силе тяжести и направлена в противоположную сторону: . Из этого уравнения находим , т.е. эта сила направлена вверх.

1.5 Обозначим начальную скорость второго шарика и найдем скорости шариков и после первого столкновения (Рис.1), используя уравнения законов сохранения импульса и механической энергии


Для быстрого решения этой системы уравнений перепишем ее в виде


и разделим второе уравнение на первое. При этом мы, конечно, теряем одно решение системы

но это решение соответствует начальным условиям – скоростям шарика до удара, а нам необходимо второе решение:

Подстановка этого соотношение в уравнение (1) позволяет легко найти интересующее нас решение

Понятно, что скорость первого шарика больше скорости второго, поэтому, совершив полный оборот, первый шарик догонит второй в некоторой точке , повернутой относительно исходной на некоторый угол (Рис. 1).
Для определения этого угла заметим, что до второго удара первый шарик пройдет путь

за время

Аналогично, для второго шарика можно записать

Приравнивая времена движения шариков, получим уравнение

из которого определим искомый угол , задающий положение точки столкновения

Вычислим значение этого угла, используя выражения для скоростей (6)

Таким образом, мы определили точку второго столкновения. Для определения скоростей шариков после этого удара, следует составить систему уравнений, аналогичную (1)-(2). Однако подробно ее решать нет необходимости, так как ответ почти очевиден: если при начальных условиях (5) решением выражаются формулами (6), то теперь (6) являются начальными условиями, следовательно, решение выражается формулами (5). Иными словами, после второго удара шарики восстановят свои начальные скорости – второй будет двигаться со скоростью , а первый остановится! После второго удара второй шарик сделает полный оборот и столкнется с первым в той же точке . После этого повторится рассмотренная ситуация (только повернутая на угол ): первый догоняет второй и т.д. Эти рассуждения позволяют указать точки всех столкновений шариков (Рис.3). Простым перечислением легко определить, что тринадцатое столкновение произойдет в точке, повернутой относительно исходного положения на угол, равный