Отслеживай, какие массы растворённого вещества переходят при каждом переливании: что попадает в малый сосуд при первом черпании и куда затем это идёт?

Применяй сохранение массы растворённого вещества при каждом переливании и определение концентрации как отношение массы вещества к объёму раствора; при смешивании концентрация равна сумме масс делённой на суммарный объём.

1. Найди массу вещества, взятую из сосуда A при заполнении малого сосуда объёмом .
2. Запиши массу и новый объём во втором сосуде после вливания и вычисли получившуюся концентрацию .
3. Найди массу вещества, вынутую из второго сосуда при обратном черпании объёма , и запиши массу и объём в первом сосуде после возвращения; выразите из этих соотношений.

Что остаётся неизменным при переливаниях? Подумай о суммарной массе растворенного вещества и о том, как меняется разность концентраций после каждого полного цикла.

Воспользуйся сохранением массы растворенного вещества в двух сосудах: . Запиши рекуррентное соотношение для разности концентраций — она умножается на постоянный множитель при каждом цикле (обозначь его и вырази через и ).

1. Запиши уравнение сохранения массы и получи линейную связь .
2. Докажи, что разности концентраций образуют геометрическую прогрессию и запиши с найденным .
3. Реши систему двух линейных уравнений для и и вырази (и затем ) через и — остановись на шаге «выразите из полученной системы».

Аналогично растворам, при переносе тела тепла между двумя сосудами суммарная тепловая энергия остаётся постоянной; проследи, как меняются температуры после каждого опускания тела.

Запиши уравнение теплового баланса при соприкосновении тела теплоёмкости с массой воды теплоёмкостью : изменение тепла тела равно изменению тепла воды; повтори для обратного переноса и получи рекуррентную формулу для разности температур.

1. Составь уравнение теплового баланса при первом опускании тела из A в B и вырази через .
2. Аналогично составь уравнение при возвращении тела и найди , затем выведи множитель, на который умножается разность температур за один цикл; получи выражение для разности после циклов.
3. Запиши уравнение сохранения суммарной «температурной» величины (аналог суммы концентраций) и из полученной системы выразите и через начальные температуры и найденный множитель.

Представь прикосновение маленького проводящего шарика к большого: часть заряда перетечёт так, чтобы потенциалы соприкоснувшихся шаров выровнялись — подумай, от чего зависит доля перешедшего заряда.

При контакте заряд перераспределяется так, чтобы у двух соприкасающихся проводников выровнялись потенциалы; для сфер потенциал пропорционален , поэтому коэффициент определяется отношением ёмкостей (или геометрических факторов) малой и большой сфер.

1. Запиши условие выравнивания потенциалов при контакте маленькой сферы радиуса и большой сферы радиуса и вырази итоговые заряды через начальный заряд .
2. Найди долю заряда, остающуюся на большой сфере после контакта и долю, переходящую на маленькую сферу; оцени коэффициент через и .
3. Выразите из полученного соотношения.

Наблюдай, что происходит с зарядами больших шаров за один полный цикл контактов через маленький шарик: какие характеристики процесса сохраняются, а какие меняются? Нарисуй схему последовательных прикосновений малого шарика к большим.

Воспользуйся моделью, по которой при контакте малого шарика с большим шаром с зарядом на маленький переходит заряд , а у большого остаётся доля от прежнего заряда. Применяй эту линейную процедуру для каждого контакта по очереди.

1. Запиши, как меняются заряды больших шаров после первого прикосновения маленького шарика к первому шару, затем после прикосновения к второму — последовательно применяй правило .
2. Составь выражения для зарядов больших шаров после двух последовательных переносов (то есть после одного полного цикла) в виде линейных комбинаций и с коэффициентами, зависящими от .
3. Заметь, что повторение циклов приведёт к умножению вектора на некоторую матрицу; запиши рекуррентную систему для в терминах и .
4. Из полученной системы выразите и через начальные заряды и параметр .