Часть 1 Перенос вещества.

Для решения данной задачи необходимо последовательно рассмотреть изменения концентраций растворов при каждом переливании. Понятно, что при сливании растворов будут сохраняться суммарная масса растворенного вещества и их общий объем.

1.1 Массы растворенного вещества в сосудах и их общая масса определяются по очевидным формулам

1.2 При наполнении малого сосуда в него попадет масса раствора, равная . Эта масса попадет во второй сосуд, поэтому масса растворенного вещества во втором сосуде окажется равной , а его концентрация станет равной

Зачерпнув из второго сосуда, мы «захватим» массу растворенного вещества равную . Она попадет в первый сосуд, при этом концентрация раствора в этом сосуде станет равной

1.3 Расчет разностей концентраций требует только аккуратности в алгебраических преобразованиях:

Полученная формула является основой дальнейшего решения: разность концентраций после одного цикла уменьшается в

раз. Это соотношение можно обобщить на любой следующий полный цикл переливания

Следовательно, разности концентраций образую геометрическую прогрессию, поэтому разность концентрации можно выразить в явном виде.

1.4 Массы растворенных веществ выражаются через концентрации растворов

Общая масса этого вещества осталась неизменной, определяемой по формуле (1). Поэтому можно выразить и сумму концентраций растворов

1.5 Таким образом, мы получили два уравнения (1.8) и (1.10) для определения концентраций растворов, решение которых представляет чисто техническую проблему, складывая эти уравнения получим концентрацию раствора в первом сосуде

Концентрацию раствора во втором сосуде можно выразить из уравнения (1.8):


Наконец, подставляя значение параметра , получим выражения для концентраций через известные исходные параметры

Часть 2. Перенос теплоты «вручную».

Эта задача практически полностью аналогична первой части. Аналогом массы растворенного вещества служит количество переданной теплоты, а аналогом концентрации раствора – температура. Поэтому следует ожидать, что разности температур после одного цикла переноса («туда и обратно») будут составлять геометрическую процессию. Так в после опускания тела (имеющего температуру равную начальной температуре в первом сосуде), установится температура , которую можно найти из уравнения теплового баланса²

Аналогичное уравнение можно записать для определения установившуюся температуру в первом сосуде, после повторного опуская тела

Вычислив разности температур после первого цикла переноса


видим, что аналогичное соотношения справедливо для любого цикла переноса, поэтому соотношение (3) показывает, что разности температур изменяются в геометрической прогрессии

² [^2]

где обозначено

Теперь запишем уравнения теплового баланса для теплоты, перенесенной за циклов:

Это уравнение перепишем в виде:

Так тело, с помощью которого осуществляется перенос теплоты, является малым, то в уравнении (6) можно считать, что , и пренебречь малой теплоемкостью . В этом случае получим

Заметим, что использовать такое приближение в формуле (2.5) нельзя, так в этом случае и никакого переноса теплоты не будет.

Таким образом, мы получаем систему уравнений (2.4) и (2.8), для определения температур воды в сосудах, что и система уравнений (1.8) и (1.10) для определения концентраций. Поэтому температуры воды в сосудах будут определяться такими же соотношениями, как и выражения (1.11)-(1.12) для концентраций:

Только в этих выражениях параметр определяется по формуле (2.5)

Не обязательное дополнение.

Использование приближения не является обязательным. Можно точно решить *и систему уравнений (2.4) и точного уравнения (2.7). Эти уравнение образуют систему, из которой не сложно найти явные выражения для температур воды в сосудах.

В первом:*

Во втором:

Если теперь положить , то они переходят в формулы (2.8)-(2.9)

Часть 3. Перенос заряда.

Для решения этой задачи также можно воспользоваться аналогичным подходом. Только в данной задаче нам необходимо рассчитать изменение электрических зарядов, которые являются аналогами масс растворенных веществ (в первой части задачи) и количества теплоты (во второй части). Аналогом же концентраций и температур могут выступать электрические потенциалы. При контакте шаров происходит выравнивание именно их потенциалов. Если рассчитать изменение потенциалов, то далее можно найти и

значения зарядов шаров. Будем обозначать потенциалы первого шара после полных циклов переноса - , а потенциалы второго шара . Строго говоря, при изменении расстояния между шарами их потенциалы изменяются (так как электрическое поле совершает работу), однако нас интересует количество перенесенного заряда, поэтому изменение потенциала при перемещении шарика для нас не существенно.

Пусть малый шарик касается большого, обозначим в этом положении электрическую емкость большого шара , а емкость малого шарика , суммарная емкость системы равна . Если суммарный заряд двух соприкасающихся шаров равен , то потенциал же шаров будет равен

заряд малого шарика (следовательно, и переносимый заряд) рассчитывается по формуле