Резиновый маятник — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2011 11 класс № Э2

Часть 1. «Удлинение резинки»

Таблица 1. Зависимость длины резинки от количества грузов

	$см$
0	21,0
1	24,0
2	28,0
3	35,0
4	43,0
5	51,0
6	60,0
5	56,3
4	50,0
3	40,5
2	32,0
1	26,0
0	21,0

В Таблице 1 приведены измеренные значения длины резинки в зависимости от количества подвешенных к ней грузов. Масса каждого подвешенного груза имеет стандартное значение $г$ .

При выполнении данного пункта следует последовательно нагружать, а затем разгружать резинку, поскольку ее деформация при этом оказывается различной.

По результатам измерений строим График 1. зависимости длины резинки от количества (массы) подвешенных грузов.

Из анализа полученной зависимости видим, что резинка имеет характерную «петлю гистерезиса», обусловленную различным поведением ее удлиненных молекул при увеличении и уменьшении нагрузки.

Наклон различных участков графика, характеризующий дифференциальную жесткость (коэффициент упругости при малых деформациях) системы также имеет различные значения даже в пределах одной ветви графика.

Строго говоря, для получения зависимости деформации резинки от массы, следует поднять ось абсцисс на отметку $с м$ , однако характер кривой это не изменит.

Часть 2. «Математический маятник»

При подвешивании различного количества грузов в данном случае следует учесть, что помимо удлинения резинки под действием силы тяжести грузов, происходит увеличение расстояния до центра масс за счет размеров самих грузов.

Таблица 2. Измерение периода колебаний математического маятника

	$см$	$см$	$с$	$с$	$с$	$эксп с$	$теор с$
1	26,0	28,0	5,28	5,41	5,36	1,07	1,06
2	30,0	34,0	6,04	6,07	5,91	1,20	1,17
3	38,0	44,0	6,84	6,90	6,78	1,37	1,33
4	48,4	56,4	7,71	7,72	7,66	1,54	1,51
5	56,6	66,6	8,44	8,29	8,39	1,67	1,64
6	64,1	76,1	9,14	9,15	9,18	1,83	1,75

Вследствие этого к длине резинки в деформированном состоянии следует добавить поправку , равную половине длины цепочки грузов. Напомним, что высота одного грузика (от крючка до крючка) составляет см.

В Таблице 2 приведены данные измерений для количества грузов от одного до шести. Для увеличения точности измерений проводилось по три измерения для пяти колебаний () системы при данном количестве грузов, после чего полученные результаты усреднялись. Результат усреднения представлен в таблице как $эксп$ .

Для проверки соответствия эксперимента и теории в последнем столбце таблицы 2 проведено вычисление периода колебаний $теор$ по формуле Гюйгенса.

График 2. зависимости $эксп$ и $теор$ от количества подвешенных грузов (массы) представлен ниже.

Как видно из графика, экспериментальные точки «ложатся» несколько выше теоретических, что обусловлено влиянием сил сопротивления, «неточечностью» системы грузиков, изменением длины резинки при колебаниях и др.

Часть 3. «Пружинный маятник»

3.1

3.1 Измерение периода колебаний $эксп$ системы в зависимости от числа грузов проводим по стандартной методике, измеряя длительность пяти полных колебаний. Измерения производим три раза, усредняя полученные результаты, находим $эксп$ . Данные измерений приведены в таблице 3.

Таблица 3. Измерение периода вертикальных колебаний с T ,с T ,с T,с

				$эксп$
1	1,66	1,68	1,72	0,34
2	3,12	2,89	2,88	0,59
3	4,49	4,55	4,70	0,92
4	5,08	5,12	5,02	1,01
5	4,81	4,69	4,81	0,95
6	4,20	4,26	4,19	0,84

Как следует из таблицы, период колебаний пружинного маятника сначала возрастает, а потом убывает. Это может быть объяснено соответствующим изменением коэффициента упругости резинки в процессе ее деформации.

3-2. Для определения значения дифференциального коэффициента упругости будем подвешивать небольшой дополнительный груз $г$ при каждом значении . Измеряя удлинение под действием силы тяжести дополнительного груза, найдем искомое значение по формуле . Данные измерений представлены в Таблице 4.

Таблица 4. Нахождение коэффициента упругости

	$мм$	$Н м$	$теор с$
1	0,7	28,6	0,37
2	1,0	20,0	0,63
3	1,7	11,8	1,00
4	1,6	12,5	1,12
5	1,0	20,0	0,99
6	0,8	25,0	0,97

Как следует из Таблицы 4, наше предположение получило экспериментальное подтверждение — изменение коэффициента упругости соответствует изменениям периода колебаний в пункте 3.1.

Для сравнения полученных зависимостей рассчитаем период колебаний $теор$ пружинного маятника по формуле

Результаты расчетов представлены в Таблице 4.

На графике 3 представлены полученные зависимости для $эксп$ и $теор$ .

Интересно, что в данном случае «сверху» находится теоретическая зависимость, тогда как при выполнении части 2 задания все было наоборот.

Среди возможных причин этого следует отметить внутреннее трение в резине, которое приводит к достаточно быстрому затуханию вертикальных колебаний по сравнению с колебаниями математического маятника.

Примечание: Представленные измерения для всех пунктов задачи проведены для «Резинки рыболовной (диаметр 1 мм)» производства «Белучтехприбор».

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи