Нарисуй кольцо и подумай, куда направлены векторы поля от каждого положительного элемента заряда в вертикальной сечении.

Исходи из симметрии: по кругу векторы электрического поля складываются супепозицией вкладов от элементарных зарядов; радиальная компонентa в плоскости кольца не расходится по оси.

1. Изобрази элемент кольца и направление его вклада в поле в вертикальной плоскости.
2. Разложи этот вклад на радиальную (в плоскости кольца) и вертикальную компоненты.
3. Учти, что по симметрии вертикальные (внеосьевые) компоненты соседних элементов компенсируются, а радиальные складываются к центру.
4. Сделай итоговый эскиз: линии поля уходят от кольца и в плоскости кольца направлены к центру.

Подумай, какие проекции сил действуют при малом смещении шарика: тяжесть и электрическая сила — обе дают линейную по смещению составляющую.

Используй малый угол (линейная аппроксимация) и запиши уравнение движения в виде уравнения для малых колебаний , где складывается из вкладов гравитации и электрического поля.

1. Найди тангенциальную проекцию силы тяжести при малом угле (приблизительно ) и дополни её радиальной (электрической) составляющей из пункта 1.2, разложенной по .
2. Сложи вклады, получи уравнение вида .
3. Запиши выражение для циклической частоты и периода , отметь знак влияния заряда на устойчивость.
4. Выразите условие на , при котором выражение под корнем становится отрицательным (колебания невозможны).

Оцени максимально достижимый заряд шарика через его потенциал при заданном напряжении машины и найди массу шарика из объема и плотности.

Вычисли параметр малости, характеризующий изменение периода (отношение электрического вклада к ), и применяй биномиальное приближение для малого параметра, чтобы получить относительную смену периода.

1. Оцени заряд шарика как при заданном потенциале и радиусе шарика .
2. Вычисли массу шарика и подставь в выражение для параметра из пункта 1.3.
3. Для малого разложь и найди относительную величину изменения .
4. Выразите процентное изменение периода через вычисленный .

Нарисуй кольцо с током и представь, как вокруг элементарного участка тока располагаются магнитные линиии в вертикальной плоскости.

Используй симметрию и правило буравчика/правой руки: вектор индукции от элемента тока образует замкнутые линии, а суммарное поле вдоль оси кольца направлено по одному направлению.

1. Изобрази направление тока в кольце и от одного элементарного участка — направление локальных линий .
2. Учти, что по симметрии боковые компоненты от противоположных элементов компенсируются, остаётся компонент вдоль оси кольца.
3. Покажи итоговую картину: линии проходят через центр кольца и замыкаются вокруг кольца согласно правилу правой руки.
4. Подпиши направление вектора на рисунке в центре кольца.

Нарисуй картинку магнитного поля в плоскости, проходящей через центр кольца. Подумай, в каком направлении будет результирующее поле в точке центра кольца и какие составляющие от симметричных элементов суммируются, а какие компенсируются.

Запиши закон Био–Савара–Лапласа для малого элемента тока : и учти симметрию кольца, чтобы выделить ненулевую компоненту поля в центре.

1. Параметризуй элемент кольца через угол и выпиши векторное произведение для этого элемента.
2. Учти, что из-за зеркальной симметрии вокруг оси остаётся только осевая (перпендикулярная плоскости кольца) компонента ; запиши выражение для её модуля.
3. Интегрируй по всему кольцу от до , вынеся постоянные множители за знак интеграла и использовав .
4. Вырази в виде полученного интеграла и упростив его, получи искомую зависимость .

Проанализируй, влияет ли магнитная сила на продольную составляющую движения маятника и совершает ли она работу.

Вспомни: сила Лоренца перпендикулярна скорости и не меняет кинетическую энергию, поэтому она не изменяет величину восстановительной силы вдоль направления смещения.

1. Запиши уравнение движения вдоль отклонения, включая гравитационную компоненту и магнитную силу.
2. Покажи, что проекция магнитной силы на направление малого смещения равна нулю в первом порядке по малому углу.
3. Следовательно, частота собственных малых колебаний определяется только и и равна частоте простого матем. маятника.
4. Выразите период колебаний из полученной системы уравнений.

Нарисуй вектор скорости шарика в момент прохождения через центр кольца и укажи направление магнитного поля. Подумай: какая сила, направленная перпендикулярно скорости, не меняет модуль скорости, но может поворачивать направление движения?

Запиши выражение для силы, действующей на заряд при движении в магнитном поле — . Выдели компоненту этой силы, лежащую в плоскости, соответствующей повороту плоскости колебаний (тангенциальную относительно окружности поворота).

1. 1. Выбери мгновенный момент, когда шарик проходит через центр, и выпиши его скорость в плоскости колебаний.
2. 1. Подставь в направления и для нашей геометрии и найди тангенциальную компоненту силы, приводящую к повороту плоскости.
3. 1. Сопоставь полученную тангенциальную сила с моментом сил относительно вертикальной оси и запиши закон изменения углового момента плоскости колебаний за малый интервал времени .
4. 1. Интегрируй связь между моментом сил и изменением углового момента за период колебаний и выразите из полученной системы.

Определи, какие физические величины и параметры нужны, чтобы вычислить период полного оборота плоскости колебаний.

Воспользуйся выражением для периода полного оборота, полученным в п.2.6; подставь в него индукцию магнитного поля из формулы (2) через силу тока и радиус кольца и используй массу и заряд шарика, вычисленные по его размерам и плотности.

1. Вычисли массу шарика, используя его диаметр и плотность стали.
2. По формуле (2) вырази магнитную индукцию в центре кольца через силу тока и радиус.
3. Подставь найденные массу, заряд и индукцию в выражение периода полного оборота, полученное в п.2.6.
4. Выразите период полного оборота T из полученной системы (остается только арифметика и подстановка численных значений).

Нарисуй маятник в системе, связанной с поверхностью Земли, и отметь все силы и направление вращения этой системы. Подумай, как будет меняться направление скорости шарика при небольшом отклонении нити.

Запиши уравнения движения в вращающейся системе отсчёта, включив в них внешние силы и дополнительные инерционные силы (центробежную и кориолисову). Линейризуй уравнения для малых отклонений маятника.

1. Выбери координаты в плоскости поверхности Земли (ось вдоль начальной плоскости колебаний и перпендикулярно ей).
2. Запиши проекционные уравнения движения с учётом малых углов и включи члены, пропорциональные угловой скорости вращения Земли Ω_earth (которые дают вращение плоскости колебаний).
3. Проанализируй полученную систему линейных дифференциальных уравнений и выдели медленное изменение фазы колебаний (представь решение как гармонику с медленно меняющейся фазой).
4. Вырази искомую угловую скорость поворота плоскости колебаний Ω из полученной системы уравнений.

В системе, связанной с поверхностью Земли, плоскость колебаний медленно поворачивается, поэтому траектория выглядит как колебания в поворачивающейся рамке — замкнутая огибающая, поворачивающаяся со скоростью прецессии.

Представь движение как гармоническое колебание в инерциальной системе, умноженное на поворотную матрицу с углом, меняющимся со скоростью ; это даёт вращающуюся траекторию в земной системе.

1. Опиши базовое решение для простого маятника в инерциальной системе как колебание вдоль фиксированной оси.
2. Применяй поворот этой оси во времени на угол для перехода в систему, связанная с Землёй.
3. Получишь схематическую картину: линия колебаний медленно вращается, образуя совокупность орбит, повернутых на разные углы.
4. Выразите форму траектории в виде функции поворота и гармонического движения.

Ускорение в вращающейся системе — это ускорение в инерциальной системе с вычитанием/прибавлением к нему кинематических терминов, связанных с вращением (Кориолис и центробежный члены).

Используй стандартную формулу преобразования ускорений: и распиши проекции.

1. Возьми (характерное ускорение маятника в инерциальной системе; обозначь его ) и дополни его кинематическими членами вращения.
2. Вычисли Кориолисов член и центробежный для заданных ориентаций и разложи по осям.
3. Сложи все вклады и получи выражения для проекций через и параметры вращения.
4. Выразите проекции ускорения из полученной системы.