Звуковые волны, эффект Доплера

11 класс № 2 5/5 Edu

11.1 11.2 11.3

T Условие S Решение H Подсказки E Режим тренировки

▾Файлы

Условие (PDF) Решения (PDF) Условие (Задача) Решение (Задача) Условие (Оригинал) Решение (Оригинал) TeX версия

Режим тренировки Edu

Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.

При движении относительно друг друга излучателя и приёмника волн наблюдается эффект изменения частоты волн, который получил название эффекта Доплера. Сущность данного эффекта представлена на рисунке 1.

1. Неподвижный источник

излучает звуковые волны частотой . Если источник звука движется по направлению к покоящемуся приёмнику с постоянной скоростью , то приёмник регистрирует сигнал частотой , если источник удаляется от покоящегося приёмника с постоянной скоростью , то приёмник регистрирует сигнал частотой .

Рисунок 1.

Скорость звука в среде не зависит от скорости источника и приёмника звука. Среда однородная и неподвижная. Во всех пунктах данной задачи источник и приёмник звука считайте точечными, скорость звука в среде .

Решено

1.1. Укажите соотношение между частотами и (больше, меньше).

Какое движение источника делает приход фронтов более частым — приближение или удаление?

Частота приёмника обратно пропорциональна длине волны; движение источника меняет эту длину волны вдоль направления к приёмнику.

Нарисуй фронты в обоих случаях и укажи смещение источника за период.
Определи, где длина волны меньше.
Сделай вывод о том, какая частота больше.

1.1. Потенциал на внешних поверхностях сфер определим по принципу суперпозиции потенциалов. Потенциал каждой из сфер будет определяться не только зарядом данной сферы, но и зарядами двух других сфер.

Потенциал на внешней поверхности первой сферы:

Потенциал на внешней поверхности второй сферы:

Потенциал на внешней поверхности третьей сферы:

Потенциал в точке А:

Напряжённости электрических полей на внешних поверхностях сфер определим по принципу суперпозиции напряжённостей. Векторы напряжённостей электрических полей, создаваемых концентрическими сферами, будут направлены радиально к поверхностям сфер. Поэтому суммирование напряжённостей полей производится алгебраически. Также учитываем, что напряжённость электрического поля внутри сферы равна нулю.

Напряжённость на внешней поверхности первой сферы:

Напряжённость на внешней поверхности второй сферы:

Напряжённость на внешней поверхности третьей сферы:

Напряжённость в точке А:

Решено

1.2. Покажите, что

Нарисуй два соседних волновых фронта, излучённых источником через один период, и отметь положение источника при излучении каждого фронта.

Свяжи частоту с периодом сигнала и учти, что приёмник регистрирует частоту, обратную времени между приходами соседних фронтов; этот промежуток времени определяется скоростью распространения волн в среде и смещением источника за период.

Нарисуй исходную картину: два соседних фронта разделены в пространстве на расстояние, равное длине волны, и источник за время периода смещается на по направлению к приёмнику.
Запиши длину расстояния между двумя последовательно излученными фронтами вдоль направления к приёмнику: исходная длина волны в среде равна , уменьшенная длина вдоль луча равна .
Найди время между приходами этих двух фронтов в приёмнике как отношение этой уменьшенной длины до скорости звука и запиши связь между и ; затем перейди к частотам, используя и .
Вырази из полученной системы.

1.2. После соединения второй и третьей сфер проводником между ними происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциалы этих сфер становятся равными. Суммарный заряд этих двух сфер сохраняется.

Рисунок 2.

Заряд первой сферы не изменяется.

Уравнение (9) запишем в виде:

Из (13) получим:

Из (11) получим:

Решено

1.3. Покажите, что

*Указание. Если Вам не удалось вывести уравнения (1) и (2), то далее в случае необходимости Вы можете пользоваться ими в готовом виде.

2. Источник звука помещён внутрь абсолютно упругого мяча (шара). Мяч находится на некоторой высоте над абсолютно упругой горизонтальной поверхностью, мячу сообщают скорость направленную вертикально вверх. На некотором расстоянии от траектории движения мяча и на некоторой высоте $п$ над поверхностью находится приёмник звука $п$ (рис.2). Зависимость частоты звука от времени , регистрируемого приёмником, показана на графике (рис.3). Частота звука, излучаемого неподвижным источником, $Гц$ .

Сопротивление воздуха не учитывать. Запаздыванием звукового сигнала пренебречь.

Определите:

При удалении источник отодвигает гребни, делая их приход реже.

Запиши как путь звука за плюс смещение источника и затем .

Вычисли смещение за при удалении.
Запиши и вычисли .
Выразите .

1.3.

После заземления второй и третьей сфер между ними и землёй происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциалы этих сфер становятся равными нулю.

Заряд первой сферы не изменяется.

По заземляющему проводнику пройдёт заряд

Равенство потенциалов запишем в виде:

Из (19) получим:

Учитывая, что получим:

Следовательно, по заземляющему проводнику пройдёт заряд

Решено

2.1. Максимальную высоту подъёма мяча ,

Внимательно рассмотрите график зависимости частоты по времени: отметьте моменты, когда частота равна исходной и когда достигает экстремумов. Подумайте, как эти моменты соотносятся с положением и скоростью мяча в вертикальном движении.

Воспользуйтесь формулой эффекта Доплера для движущегося источника: зарегистрированная частота связана с компонентой скорости источника вдоль направления «источник—приёмник» через соотношение вида (знак зависит от направления движения источника относительно приёмника).

Определите по графику времена и соответствующие им значения в ключевых точках (экстремумы и точки, где ).
Используйте формулу Доплера, чтобы связать эти значения частоты с соответствующими компонентами скорости источника в эти моменты.
Запишите кинематическое соотношение для вертикального движения мяча (зависимость скорости от высоты) и условие для максимальной высоты (скорость вертикальная равна нулю).
Составьте систему уравнений из найденных связей и выразите высоту подъёма из этой системы.

2.1.

Диэлектрический слой «заменяем» двумя сферами радиусами R и 3R, и зарядами и . На рисунке 4 данные сферы обозначены пунктиром. Напряжённость электрического поля на поверхности диэлектрического слоя вблизи внутренней сферы можно определить как

или как

Приравнивая правые части (23) и (24) определим величину связных зарядов, образующихся на поверхности диэлектрического слоя вблизи внутренней сферы .

Величину связных зарядов, образующихся на поверхности диэлектрического слоя вблизи внешней сферы , определим используя закон сохранения электрического заряда. Диэлектрический слой, согласно условия задачи, электрически нейтрален. Поэтому

Подставляя в (27) значение , получим:

Решено

2.2. Начальную скорость мяча ,

Из графика найди время подъёма до вершины и соответствующее изменение частоты — это даст информацию о начальной скорости.

Используй и соотношение Доплера , где — проекция вертикальной скорости на направление к приёмнику.

Определи время подъёма до вершины как момент, где вертикальная скорость равна нулю ().
Запиши проекцию скорости на приёмник в начальный момент и в моменты, отмеченные на графике, через и геометрию.
Составь уравнение(я) из соответствия наблюдаемых частот и вычисленных и выразите .

2.2.

Потенциалы определяем по принципу суперпозиции потенциалов.

Подставляя значения зарядов , , , , получим:

Решено

2.3. Высоту ,

Моменты, где по графику частота равна исходной, дают уравнения для положения мяча относительно приёмника в эти моменты.

Сочетай уравнение движения и условия из графика (времена пересечения частоты с исходной) для получения уравнений на .

Определи времена пересечения по графику и подставь их в .
Используй найденные ранее и для сокращения неизвестных.
Выразите из полученной системы.

2.3.

После заземления внутренней сферы между ней и землёй происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциал этой сферы становятся равными нулю.

Потенциал запишем, используя принцип суперпозиции потенциалов:

Для напряжённости электрического поля в точке D получим уравнение

Рисунок 5.

Рисунок 6.

Так же примем во внимание, что диэлектрический слой остаётся электрически нейтральным, а следовательно

Решив систему уравнений (36), (37) и (38), получим:

Решено

2.4. Высоту $п$ приёмника над поверхностью,

Чтобы найти высоту приёмника, выпиши тригонометрию направления луча в те моменты, которые отмечены на графике (нулевая проекция, экстремумы).

Свяжи $п$ и через тригонометрические соотношения и подставь в выражение для проекции скорости в формуле Доплера.

Запиши выражение для угла между вертикалью и направлением на приёмник через $п$ и .
Вырази проекцию через и этот угол и сопоставь с наблюдаемыми значениями частоты.
Выразите $п$ из полученной системы.

Решено

2.5. Расстояние от приёмника до траектории движения мяча.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

3. Движение источника звука по окружности (запаздыванием звукового сигнала пренебречь).

Решено

3.1. Источник звука движется по окружности радиуса со скоростью . Приемник звука находится на расстоянии от центра окружности, по которой движется источник. Сделайте рисунок и укажите следующие точки на окружности: А – точка, в которой должен находиться источник, когда приёмник будет регистрировать сигналы наименьшей частоты; В – точка, в которой должен находиться источник, когда приёмник будет регистрировать сигналы наибольшей частоты; С и D – точки, в которой должен находиться источник, когда приёмник будет регистрировать сигналы с частотой, равной частоте излучения неподвижного источника.

Решено

3.2. Источник звука движется по окружности радиуса со скоростью . Период обращения источника звука . Приемник звука находится на расстоянии от центра окружности, по которой движется источник. Постройте график зависимости частоты звука от времени , регистрируемого приёмником, за промежуток времени равному двум периодам обращения источника звука по окружности. За начало отсчёта времени возьмите момент, когда расстояние между источником и приёмником было наименьшим. График постройте в относительных координатах . Подсказка: для построения графика уравнение зависимости получать необязательно.

Режим тренировки Edu

Похожие задачи