Потенциал на внешних поверхностях сфер определим по принципу суперпозиции потенциалов. Потенциал каждой из сфер будет определяться не только зарядом данной сферы, но и зарядами двух других сфер.

Потенциал на внешней поверхности первой сферы:

Потенциал на внешней поверхности второй сферы:

Потенциал на внешней поверхности третьей сферы:

Потенциал в точке А:

Напряжённости электрических полей на внешних поверхностях сфер определим по принципу суперпозиции напряжённостей. Векторы напряжённостей электрических полей, создаваемых концентрическими сферами, будут направлены радиально к поверхностям сфер. Поэтому суммирование напряжённостей полей производится алгебраически. Также учитываем, что напряжённость электрического поля внутри сферы равна нулю.

Напряжённость на внешней поверхности первой сферы:

Напряжённость на внешней поверхности второй сферы:

Напряжённость на внешней поверхности третьей сферы:

Напряжённость в точке А:

1.2. После соединения второй и третьей сфер проводником между ними происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциалы этих сфер становятся равными. Суммарный заряд этих двух сфер сохраняется.

Рисунок 2.

Заряд первой сферы не изменяется.

Уравнение (9) запишем в виде:

Из (13) получим:

Из (11) получим:

1.3.

После заземления второй и третьей сфер между ними и землёй происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциалы этих сфер становятся равными нулю.

Заряд первой сферы не изменяется.

По заземляющему проводнику пройдёт заряд

Равенство потенциалов запишем в виде:

Из (19) получим:

Учитывая, что получим:

Следовательно, по заземляющему проводнику пройдёт заряд

2.1.

Диэлектрический слой «заменяем» двумя сферами радиусами R и 3R, и зарядами и . На рисунке 4 данные сферы обозначены пунктиром. Напряжённость электрического поля на поверхности диэлектрического слоя вблизи внутренней сферы можно определить как

или как

Приравнивая правые части (23) и (24) определим величину связных зарядов, образующихся на поверхности диэлектрического слоя вблизи внутренней сферы .

Величину связных зарядов, образующихся на поверхности диэлектрического слоя вблизи внешней сферы , определим используя закон сохранения электрического заряда. Диэлектрический слой, согласно условия задачи, электрически нейтрален. Поэтому

Подставляя в (27) значение , получим:

2.2.

Потенциалы определяем по принципу суперпозиции потенциалов.

Подставляя значения зарядов , , , , получим:

2.3.

После заземления внутренней сферы между ней и землёй происходит перераспределение зарядов таким образом, что потенциал этой сферы становятся равными нулю.

Потенциал запишем, используя принцип суперпозиции потенциалов:

Для напряжённости электрического поля в точке D получим уравнение

Рисунок 5.

Рисунок 6.

Так же примем во внимание, что диэлектрический слой остаётся электрически нейтральным, а следовательно

Решив систему уравнений (36), (37) и (38), получим: