1.1 Так как магниты направлены полюсами навстречу, то они отталкиваются друг от друга. В положении равновесия сила тяжести, действующая на верхний магнит, уравновешивается силой магнитного отталкивания, т.е.

Из этого уравнения следует, что в положении равновесия

1.2 Условием возможности колебаний в любой системе – является наличие устойчивого положения равновесия.

Не сложно показать, что найденное положение равновесия устойчиво: при смещении магнита вверх, сила тяжести превышает магнитную силу, поэтому результирующая сила будет направлена вниз, т.е. к положению равновесия; и наоборот, при смещении магнита вниз возрастет магнитная сила, поэтому результирующая сила опять будет направлена к

положению равновесия. Графики зависимости сил от расстояния иллюстрируют эти рассуждения

Следовательно, вблизи этого положения равновесия колебания верхнего магнита возможны!

Для расчета периода колебаний запишем уравнение второго закона Ньютона для верхнего магнита

Так как мы рассматриваем малые колебания, то представим координату магнита в виде

где - малое отклонение от положения равновесия. Далее упростим уравнение (3), используя приведенную формулу

или

Это уравнение есть известное уравнение гармонических колебаний с периодом

Примечание. Полученное уравнение (5) также подтверждает устойчивость положения равновесия, так как показывает, что результирующая сила направлена в сторону, противоположную смещению от положения равновесия.

1.3 – 1.4 В данной части рассуждения полностью аналогичны, поэтому сразу запишем уравнение второго закона Ньютона для нижнего магнита (направление оси изменено):

В положении равновесия справедливо уравнение

Поэтому положение равновесия определяется тем же выражением

Однако, данное положение равновесия является не устойчивым, поэтому здесь колебания не возможны!

Доказать это можно с помощью логических рассуждений, графика, или непосредственно из уравнения (8). Преобразование этого уравнения в приближении малых отклонений приводит к результату

В этом уравнении знак «плюс» явно указывает, что результирующая сила направлена в ту же сторону, что и смещение, то есть эта сила еще дальше уводит магнит от положения равновесия.

2.1 Колебания возможны только при наличии положения устойчивого равновесия, поэтому сначала найти эти положения. На подвижный магнит в рассматриваемом случае действует сила магнитного притяжения и сила упругости со стороны пружины. В положении равновесия эти силы равны по модулю. Из этого условия следует уравнение:

Это уравнение является уравнением пятой степени, поэтому попытки его аналитического решения обречены на неудачу. Однако нам пока и не требуется решать это уравнение, нам достаточно только проанализировать при каких значениях параметров оно имеет решения¹. Для такого анализа схематически построим графики зависимостей действующих сил от координаты подвижного магнита .

Зависимость силы притяжения — та же гладкая монотонно убывающая кривая. Зависимость силы упругости от координаты изображается прямой линией, коэффициент наклона которой равен коэффициенту жесткости пружины. Эта прямая пересекает ось в точке с координатой . Таким образом, при изменении эта прямая смещается параллельно самой себе.

Не сложно заметить, что при малых прямая (1) не пересекает кривую силы притяжения — в этом случае уравнение (12) корней не имеет! При этом модуль силы притяжения больше модуля силы упругости, поэтому при любом положении магнита. При больших (прямая 3 на рисунке) имеется две точки пересечения, соответствующие двум положениям равновесия — одно из них устойчивое, второе — не устойчивое. Следовательно, именно в этом случае возможны колебания магнита. Таким образом, «критической» прямой является прямая (2), которая касается графика функции .

Рассмотрим параметры этой прямой. Обозначим координату точки касания .

Воспользуемся «математической подсказкой» и запишем уравнение касательной к графику функции :

Сравним эту функцию с функцией, описывающей силу упругости:

¹ Не такая уж редкая ситуация для олимпиадных задач: нужно найти не само решение, а только условия при которых это решение существует!

Эти функции описывают одну и ту же прямую, поэтому должны быть тождественны во всех точках. Из равенства

Следует:

Итак, колебания возможны, если

2.2 На рисунке показано построение зависимости силы упругости от координаты при заданных в условии параметрах.

Эта прямая дважды пресекает график зависимости силы притяжения магнитов от координаты. Из проведенного анализа следует, что этим точкам соответствуют два положения равновесия. Координаты этих точек можно снять непосредственно из графика (с погрешностью порядка 1 мм). Первое положение равновесия см, является неустойчивым, второе см - устойчивым. Колебания возможны возле второго

положения равновесия. Однако, если координата подвижного магнита станет меньше, чем , то магнит станет неотвратимо приближаться к первому магниту. Поэтому максимальное начальное смещение магнита равно

Погрешность найденного значения оценивается в см, что меньше, чем оговоренные в условии , поэтому дальнейшее уточнение не требуется.