Подумай, какая условие на скорость в верхней точке обеспечивает, что нить остаётся натянутой, и откуда берётся центростремительное ускорение.

Запиши проекцию второго закона Ньютона в верхней точке в радиальном направлении и применяй закон сохранения механической энергии между нижней и верхней точками.

1. Запиши уравнение равновесия радиальных сил в верхней точке, включая силу натяжения и центростремительную .
2. Положи условие «нить на грани провисания» и получи соотношение между и параметрами задачи.
3. Запиши закон сохранения энергии между нижней точкой (начальной скоростью ) и верхней точкой (скорость ).
4. Вырази из полученной системы уравнений.

Найди зависимость модуля скорости шарика от угла отклонения и запиши время как интеграл вдоль траектории.

Воспользуйся законом сохранения энергии, чтобы получить , и запиши время полного оборота как интеграл (или сумму при численном подсчёте) .

1. Вырази через , , и с помощью сохранения энергии.
2. Запиши интеграл времени полного оборота и сократи пределы интегрирования, пользуясь симметрией движения (достаточно интегрировать от 0 до и умножить при необходимости).
3. Оцени интеграл численно методом суммирования или простых квадратур (например, по узлам с шагом ) и введи константу как значение безразмерного интеграла.
4. Вырази время через полученную константу и параметры задачи.

Подумай, при каких условиях нить перестанет натягиваться и шарик станет лететь по параболе, а затем какие условия нужно выполнить, чтобы этот параболический полёт привёл шарик в точку подвеса.

Составь радиальное уравнение Ньютона в точке отрыва с учётом того, что в ней , используй закон сохранения энергии между стартом и точкой отрыва и запиши уравнения движения для параболы (координаты как функции времени).

1. Положи в радиальном уравнении и вырази связь между скоростью в точке отрыва и углом наклона нити .
2. Запиши закон сохранения энергии между начальной точкой и точкой отрыва, чтобы связать с и .
3. Запиши уравнения параболического движения от точки отрыва и наложи условия попадания в точку подвеса (координаты конечной точки равны координатам подвеса).
4. Вырази начальную скорость (и при необходимости ) из полученной системы уравнений.

Найди геометрию точки отрыва и требование на параболу, чтобы после отрыва шарик попал в нижнюю стартовую точку.

Повтори те же соображения: в точке отрыва даёт связь через радиальное уравнение; сохранение энергии связывает и ; затем используй уравнения параболического движения и условие прохождения через нижнюю точку старта.

1. Запиши условие в точке отрыва и получи связь между скоростью в этой точке и углом .
2. Запиши закон сохранения энергии между началом и точкой отрыва, получив соотношение между , и .
3. Запиши кинематические уравнения параболы от точки отрыва и наложи на них условие прохождения шарика через нижнюю точку старта (соответствующие координаты).
4. Вырази начальную скорость из полученной системы уравнений.