1.1 Чтобы шарик сделал полный оборот мало, чтобы он поднялся в верхнюю точку траектории. Необходимо, чтобы в верхней точке шарик имел скорость достаточную для того, чтобы нить оставалась натянутой, т.е. сила натяжения должна быть чуть больше нуля.

Для определения этой скорости запишем уравнение второго закона Ньютона для шарика в верхней точке в проекции на вертикальную ось:

Здесь - центростремительное ускорение шарика.

Из уравнения (1) следует, что эта скорость должна удовлетворять условию

Чтобы найти скорость в нижней точке можно воспользоваться законом сохранения механической энергии

Из этого уравнения следует (с учетом соотношения (2)), что минимальная скорость равна

1.2 Для расчета времени одного оборота найдем зависимость модуля скорости шарика от угла отклонения от вертикали . Для этого опять воспользуемся законом сохранения энергии:

Скорость сложным образом зависит от его координаты. Поэтому приближенный расчет времени движения может быть проведен численно. Для этого необходимо вычислить сумму

Для строго расчета необходимо устремить шаг к нулю, в этом случае сумма перейдет в соответствующий интеграл. Однако этот интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому все равно должен вычисляться численно.

Подставим выражение для скорости (4) в формулу для периода вращения (5)

Так как время подъема равно времени опускания шарика равны, то для ускорения расчета достаточно вычислить сумму для угла в пределах от до .

Построим «по точкам» график функции с шагом .

Таблица значений функции

Ниже показан график этой функции.

Функция изменяется достаточно медленно, поэтому расчет по 8 рассчитанным точкам должен дать результат с хорошей точностью.
Проведенное численное суммирование по этим точкам привело к результату .
Если считать, что движение является равноускоренным (то есть просуммировать по двум крайним точкам), то получается значение - различие меньше 5%. Поэтому окончательно формула для времени одного оборота следующая

2.1 Если начальная скорость шарика не достаточна для того, чтобы шарик достиг верхней точки, то сначала он будет двигаться по дуге окружности радиуса (на этом участке нить подвеса натянута). Когда сила натяжения нити стане равной нулю, нить изогнется, а шарик дальше будет двигаться по параболе.
Пусть сила натяжения нити стала равной нулю в некоторой точке (см. рис.), положение которой будем задавать углом наклона нити к горизонту . На основании 2 закона Ньютона для шарика, находящегося в точке , можно записать уравнение

Так как в этой точке сила натяжения равна нулю, то скорость в этой точке связана с углом следующим соотношением

Второе уравнение, связывающее эти параметры, следует из закона сохранения механической энергии


Введем систему координат, как показано на рисунке. Запишем закон движения шарика после точки , при движении по параболе в поле тяжести земли. (с учетом координат начальной точки и проекций скорости):

Уравнения (9)-(11) позволяют полностью описать движение шарика.
Пусть шарик попадает в точку подвеса в некоторый момент времени , в этот момент времени , , поэтому из закона движения (11) следует

Подставим выражение (9) для квадрата скорости и получим уравнение для угла

Решая это уравнение, получим единственное значения угла :

Теперь с помощью уравнений (9)-(10) не сложно найти требуемую начальную скорость

Окончательный ответ этой части задачи: