Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.При описании удара движущегося тела о неподвижную стенку часто используется модель абсолютно упругого удара, при котором модуль скорости тела не изменяется, а угол падения равен углу отражения. Однако такая модель не всегда корректно описывает реальные столкновения.
Более общей является модель неупругого удара, которая используется в данной задаче. Пусть движущееся тело (которое рассматривается как материальная точка) сталкивается с неподвижной плоской поверхностью. Направим ось
Вектор скорости движущегося тела
В этих формулах безразмерные коэффициенты
Во всех частях данной задаче используется модель, в которой
Т.е. модули обеих проекций скорости при ударе уменьшаются в одно и тоже число раз.
Подсказка.
При решении данной задачи вам может понадобиться формула для суммы членов геометрической прогрессии:
Все, приведенные в условии рисунки, являются схематическими и носят иллюстративный характер. Ссылаться на них в решении задачи не следует!
1.1 Получите общую формулу для координат точек столкновения тела со стенками
Нарисуй одно столкновение и проследи, как меняются проекции скорости после каждого удара. Подумай, повторяются ли углы движения между ударами.
Так как обе проекции уменьшаются в одно и то же число раз, их последовательности образуют геометрические прогрессии. Запиши общий вид таких прогрессий для проекций скоростей.
- Запиши начальные проекции
. - Положи, что после каждого удара проекции умножаются на множитель
и выпиши в общем виде. - Заметь, что при равных проекциях направление движения сохраняет угол
к оси , значит между соседними ударами тело проходит постоянное расстояние . - Выразите
из полученной системы
1.1 Согласно принятой модели
Так как проекции скорости на выбранные оси координат остаются равными после каждого столкновения, то тело всегда будет двигаться под углами
1.2 В выбранном Вами масштабе постройте траекторию движения тела до его 5-го столкновения со стенками.
Выбери за единицу масштаба расстояние между стенками и изобрази первые несколько отрезков траектории. Заметь, под какими углами движется тело.
Используй то, что направления движения между ударами постоянны (±45°), а скорости после ударов меняют только модуль по геометрической прогрессии. Сложи последовательные отрезки перемещения, проложив путь через стенки.
- Выбери масштаб: единица = расстояние между стенками
. - Начертй от начала отрезок под углом
длины, дающей смещение до первой стены. - Повтори отрезки с чередованием направлений (отражений) до пятого столкновения.
- Выразите положение каждого столкновения
из построения
1.2 В качестве единицы масштаба разумно выбрать расстояние между стенками. Тогда траектория движения будет очень простой, она показана на рисунке.
1.3 Найдите, чему равна средняя скорость движения шарика за время от начала движения до
1.3 Так как проекции скорости движения убывают в соответствии с формулой (1) времена между столкновениями будут возрастать по закону:
Для определения времени
Тогда средняя скорость до
2.1 Получите общую формулу для координат точек столкновения тела с горизонтальной поверхностью
Нарисуй траекторию одного полёта между ударами: старт под углом 45° и свободное падение до поверхности. Подумай, какие величины постоянны между ударами.
Проекции скоростей после каждого удара снова образуют геометрические прогрессии
- Запиши
и выражение для времени полёта через и . - Вычисли горизонтальное смещение за один полёт
, подставив прогрессии скоростей. - Суммируй смещения по геометрической прогрессии для получения
как суммы от до . - Выразите
из полученной суммы
2.1 Так как компоненты скоростей после каждого удара остаются равными, то после каждого удара тело будет «стартовать» по углом
Теоретический тур. Вариант 2.
9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
6
Время между двумя столкновениями полностью определяется вертикальной компонентой скорости и равно:
Смещение в горизонтальном направлении после
Тогда координата
2.2 Найдите, на какое максимальное расстояние вдоль оси
Подумай, что будет с суммой горизонтальных смещений при большом числе ударов. Существует ли предел этой суммы?
Используй формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии при |знаменателя|<1, чтобы найти предельное значение координаты при
- Запиши выражение для
как суммы геометрической прогрессии (получи его в предыдущем пункте). - Проверь условие сходимости прогрессии по знаменателю
. - Применяй формулу суммы геометрической прогрессии при
и выпиши значение предела. - Выразите
из полученной сходимой суммы
2.2 Из формулы (8) следует, что при
3.1 Рассчитайте координату
3.1 Между двумя последовательными ударами движение тела является равноускоренным с ускорением свободного падения
В момент падения тела на наклонную плоскость (назовем его нулевым ударом) проекции скорости тела на оси координат описываются формулами
После удара эти компоненты скорости в рамках принятой модели удара описываются формулами
Теоретический тур. Вариант 2.
9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
7
После столкновения с плоскость закон движения частицы задается функциями:
В момент падения координата
Тогда координата
3.2 При каком значении
3.2 Рассмотрим, как изменяются проекции скоростей частицы при последовательных соударениях. Если изменение координат описывается функциями (14), то изменение проекций скорости подчиняются следующим выражениям
Тогда непосредственно перед первым (после нулевого) ударом в момент времени
А сразу после этого удара
Обратим внимание, что нормальная составляющая скорости частицы
Теоретический тур. Вариант 2.
9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
8
Похожие задачи
Задача 9-1
- Небольшой шарик падает из точки
на массивную плиту, закрепленную на высоте м от поверхности земли и ориентированную под углом …
Полоса препятствий
На горизонтальной поверхности находится шероховатая полоса шириной
Сила и импульс
Небольшой упругий шарик массы
Удар и трение
В 9 классе в курсе физики вы изучали две простейших модели удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. В этом задании вам предстоит рассмотреть …
У Р Б П ≈4/5 Т3
Дождевые облака
Как и все природные явления, образование облаков, возникновения дождя и грады, гроз являются очень сложными и трудно описываемыми физическими …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Мы мирные люди...
На 3 этапе Республиканской физической олимпиады Вы решали задачу о старте военной ракеты. Сейчас – все войны закончились, мы радуемся мирной жизни. …
У Р Б П ≈5/5