Нарисуй одно столкновение и проследи, как меняются проекции скорости после каждого удара. Подумай, повторяются ли углы движения между ударами.

Так как обе проекции уменьшаются в одно и то же число раз, их последовательности образуют геометрические прогрессии. Запиши общий вид таких прогрессий для проекций скоростей.

1. Запиши начальные проекции .
2. Положи, что после каждого удара проекции умножаются на множитель и выпиши в общем виде.
3. Заметь, что при равных проекциях направление движения сохраняет угол к оси , значит между соседними ударами тело проходит постоянное расстояние .
4. Выразите из полученной системы

Выбери за единицу масштаба расстояние между стенками и изобрази первые несколько отрезков траектории. Заметь, под какими углами движется тело.

Используй то, что направления движения между ударами постоянны (±45°), а скорости после ударов меняют только модуль по геометрической прогрессии. Сложи последовательные отрезки перемещения, проложив путь через стенки.

1. Выбери масштаб: единица = расстояние между стенками .
2. Начертй от начала отрезок под углом длины, дающей смещение до первой стены.
3. Повтори отрезки с чередованием направлений (отражений) до пятого столкновения.
4. Выразите положение каждого столкновения из построения

Нарисуй траекторию одного полёта между ударами: старт под углом 45° и свободное падение до поверхности. Подумай, какие величины постоянны между ударами.

Проекции скоростей после каждого удара снова образуют геометрические прогрессии . Время полёта определяется вертикальной компонентой скорости и законом равноускоренного движения под действием .

1. Запиши и выражение для времени полёта через и .
2. Вычисли горизонтальное смещение за один полёт , подставив прогрессии скоростей.
3. Суммируй смещения по геометрической прогрессии для получения как суммы от до .
4. Выразите из полученной суммы

Подумай, что будет с суммой горизонтальных смещений при большом числе ударов. Существует ли предел этой суммы?

Используй формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии при |знаменателя|<1, чтобы найти предельное значение координаты при .

1. Запиши выражение для как суммы геометрической прогрессии (получи его в предыдущем пункте).
2. Проверь условие сходимости прогрессии по знаменателю .
3. Применяй формулу суммы геометрической прогрессии при и выпиши значение предела.
4. Выразите из полученной сходимой суммы