Крутильные колебания — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2026 11 класс № Э2

В данной задаче Вам предстоит исследовать горизонтальные и вертикальные крутильные колебания.

Оборудование: экспериментальная установка (рис. 1, включает: штатив (из старого оборудования) с лапкой и двумя винтовыми зажимами, дополнительная штанга от штатива для горизонтальной перекладины (можно из оборудования «Актива БГУ») пружина (из оборудования «Актива БГУ», длина см, диаметр, см), зажим канцелярский, тонкий стержень (алюминиевая или стальная упругая проволока, длина см, диаметр не менее мм), два груза с крючками по г (можно гирьки от весов) кусочек пластилина (для крепления грузов на проволоке если необходимо) мерная лента, электронный секундомер.

Рисунок 1

1.1

1.1 Момент инерции двух грузов, относительно оси пружины
$г г г$
Учитывая (3) и (4), суммарный момент инерции грузов и стержня:
$г с$

1.2

1.2 Подставляя (1) в (2), получим:

откуда

Используя аналогию, указанную в подсказке, сравним (14) с уравнением гармонических колебаний

Для горизонтальных крутильных колебаний получим:

Период таких колебаний

подставляя (11) в (17), получаем
$г с$

2.1

2.1 см.

2.2

2.2
Измеряем время 10-и оборотов шарика по окружности .
Период находим как

Таблица 1. Зависимость при горизонтальных крутильных колебаниях

,	, см	,
29,65	6,5	2,97
31,53	9,6	3,15
37,46	17,5	3,75
39,38	19,5	3,94
42,89	23,1	4,29
52,95	31,7	5,30
57,89	36,0	5,79
65,20	41,5	6,52
73,38	48,5	7,34
82,10	54,5	8,21
86,80	58,7	8,68
90,22	61,1	9,02
97,17	66,6	9,72
107,70	74,0	10,77

2.3

2.3 Возведём обе части уравнения (6) в квадрат, получим:
$г с$
откуда
$с г$
Сравнивая (20) с уравнением (7) видим, что
$с г$

2.4

2.4 Определим значения и .

Таблица 2. Зависимость			График 1. Зависимость при горизонтальных крутильных колебаниях
	, см	, с	(с)
	42	8,82
	92	9,92
	306	14,1
	380	15,5
	534	18,4
	1005	28,1
	1296	33,5
	1722	42,5
	2352	53,9
	2970	67,4
	3446	75,3
	3733	81,4
	4436	94,5
	5476	116,0
сред	1985	47,1
дисп	2917801	1125
ковар		57283
N	, $с см$	, с
14	0,0196	8,1

	0,0002	0,4
коррел	0,9998

2.5

2.5
Используя (20) и (21), получим, что при

Используя МНК (можно использовать ПГО), находим:
$с$
$с$
$с с$

$с с с$

Так как последняя значащая цифра в среднем значении периода находится в разряде десятых, то абсолютную погрешность необходимо принять $с$ .

$с$

2.6

2.6 Используя (20) и (21), получим:

$г$

Используя МНК, находим:

$с см с м$

$г с м кг Н м рад$

$г г с м с м г г$

$Н м рад Н м рад$

$Н м рад$

2.7

2.7 Используя (20) и (21), получим:

$с$

$с Н м рад с м кг г$

$с$

$Н м рад Н м рад с с см см$

$с г г$

$с г$

3.1

3.1

Таблица 3. Зависимость при вертикальных крутильных колебаниях

1	2	3	4	5
	$см$		$см$	$с$
10,70	7,5	1,07	56	1,14
13,38	13,5	1,34	182	1,80
16,11	20,0	1,61	400	2,59
18,48	23,2	1,85	538	3,42
21,96	37,0	2,20	1369	4,84
24,10	43,0	2,41	1849	5,81
25,55	48,5	2,56	2352	6,55
26,26	58,7	2,63	3446	6,92
28,41	63,5	2,84	4032	8,07
29,23	69,5	2,92	4830	8,53
29,50	75,5	2,95	5700	8,70

3.2

3.2 Линеаризируем уравнения (8) и (9). Возведя их в квадрат, получим:

Вычислим значения и (колонки 4 и 5 таблицы 3). Построим графики зависимостей и .

График 2. Зависимость при вертикальных крутильных колебаниях

График 3. Зависимость при вертикальных крутильных колебаниях

Как видим из графиков, экспериментальные точки легли вблизи некоторой усредняющей прямой в случае зависимости . В случае зависимости экспериментальные точки не ложатся вблизи прямой. Следовательно, при

вертикальных крутильных колебаниях, для применяемой экспериментальной
установки справедливо уравнение (9).
Необязательное дополнение. Так как в нашем случае оказалась справедливо
уравнение (9), то это означает, что при вертикальных крутильных колебаниях наша
установка «работает» как физический маятник. Такое может наблюдаться, когда
модуль упругости при изгибе значительно меньше эффективной "гравитационной
жёсткости". В противном случае, если модуль упругости при изгибе значительно
больше эффективной "гравитационной жёсткости", будет справедливо уравнение
(8).

3.3

3.3 Используя (34), получим, что при

То есть равно свободному слагаемому в уравнении (34).