Пусть в некоторый момент времени¹ длина отвердевшей части равна . За последующий малый промежуток времени в ходе кристаллизации выделится количество теплоты

где - плотность вещества в грелке. Эта теплота пойдет на нагревание как жидкой, так и отвердевшей части содержимого грелки на градусов. Поэтому это же количество теплоты можно выразить с помощью известных формул

Обратите внимание, что суммарная теплоемкость грелки зависит от соотношения жидкой и отвердевшей части вещества, следовательно, и от времени. Из уравнения теплового баланса

следует, что скорость изменения температуры сложным образом зависит от времени (очевидно, что ):

¹ Мы используем для обозначения времени символ , что бы не путать с температурой .

Для упрощения последнего выражения воспользуемся приближенной формулой,
приведенной в условии задачи,

Таким образом, скорость изменения температуры линейно зависит от времени. Эта зависимость полностью аналогична зависимости скорости движения при равноускоренном движении. Используя эту математическую аналогию, можем записать закон изменения температуры со временем

Еще раз отметим, что нелинейная (квадратичная) зависимость температуры от времени связана с изменением теплоемкости системы.
Максимальная температура может быть определена из последнего выражения, полагая в нем ,