Уравнение второго закона Ньютона для движения в вязкой среде имеет в данном случае вид
Из этого уравнения следует, что ускорение изменяется с течением времени, причем с ростом скорости ускорение уменьшается. При достижении равенства силы сопротивления и силы , ускорение обращается в нуль. Следовательно, скорость установившегося движения определяется соотношением Качественный вид зависимости скорости от времени показан на рисунке.
Для оценки времени достижения установившейся скорости, положим, что тело движется с постоянным ускорением (равным ускорению в начальный момент времени ) до тех пор, пока скорость не достигнет значения (2): Этот способ получения оценки проиллюстрирован на следующем рисунке.
Отметим, что рассматриваемая зависимость точно описывается функцией 2. Рассмотрение этой части задачи полностью аналогично предыдущей:
уравнение движения
скорость установившегося движения
графика зависимости скорости от времени качественно не отличается от рассмотренного ранее;
время достижения установившейся скорости (обратите внимание - в этом случае это время зависит от действующей силы) Отметим, что в данном зависимость скорости от времени точно описывается функцией
Сила сопротивления возникает из-за столкновений поршня с движущимися частицами, которые сообщают поршню импульс. Рассмотрим случай малой скорости поршня . О переднюю грань поршня ударятся частицы, которые движутся навстречу поршню, число этих столкновений за промежуток времени рассчитывается по формуле В результате столкновения проекция скорость частицы на направление движения поршня изменяется от до - это утверждение легко доказать перейдя в систему отсчета, связанную с поршнем. Итак, в результате одного столкновения поршень получит импульс Следовательно, полный импульс, полученный передней гранью поршня, равен Аналогично, можно подсчитать импульс, который получит поршень, от частиц, которые ударяются о заднюю грань поршня (разумеется, это частицы, догоняющие поршень) Таким образом, полный импульс, полученный поршнем равен разности
Учитывая, что действующая сила равна импульсу, полученному в единицу времени, получим выражение для силы сопротивления
Как видно, в рассмотренной модели сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движения поршня.
В случае больших скоростей , следует учесть, что передняя грань поршня будет сталкиваться не только с частицами, которые движутся ему навстречу, но и частицами движущимися в том же направлении, что и поршень (который их догоняет). Столкновений же с задней гранью не будет. В остальном же расчет переданного импульса остается прежним и приводит к результату А сила сопротивления в этом случае равна и зависит от квадрата скорости. Заметим, что молекулы реальных газов имеют различные скорости, поэтому указать для них точную границу между «малой» и «большой» скоростью невозможно.
График зависимости силы сопротивления от скорости представляет собой участок прямой и соприкасающуюся с ней параболу.
Задача 10-5
Задача 10-1
Подобие и размерность
Разминка
У
Р
Б
П
≈2/5
Т3
Задача 9-3
Задача 9-5