Задача 9-2 — режим тренировки

Режим тренировки Edu

Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.

Задание 2. «Дробь Мюнхгаузена»

Согласно дошедшим до наших дней абсолютно правдивым рассказам барона, в старину для производства охотничьей дроби расплавленный свинец капали с высоких башен. Во время полета капля принимала сферическую форму под действием сил поверхностного натяжения и успевала остыть до температуры кристаллизации. Таким образом, на землю «с неба» (в буквальном смысле этого слова) сыпалась «готовая продукция»...

Надежное производство мелкой дроби радиусом $мм$ обеспечивалось при минимальной высоте башни $м$ . При меньших высотах капли свинца не успевали отвердевать.

Во время войны с «крупным неприятелем» барону потребовалось наладить производство крупной дроби радиусом $мм$ .

При какой минимальной высоте новой башни это возможно?

Считайте, что капли жидкого свинца капают с башни при температуре плавления, а падают на землю полностью отвердевшими.

Решите эту задачу в двух случаях.

Решено

2.1 Пренебрегая силой сопротивления воздуха.

Решено

2.2 С учетом силы сопротивления воздуха.

Этот случай гораздо сложнее, поэтому немного вам поможем.

Описание падения тела с учетом сопротивления воздуха представляет собой достаточно сложную задачу: тело начинает двигаться с ускорением свободного падения; его скорость растет, а ускорение уменьшается; наконец, скорость тела достигает своего максимального значения, и далее тело движется равномерно с этой скоростью.

С хорошей точностью такое движение можно рассматривать как совокупность равноускоренного движения (с ускорением свободного падения),
а по достижении скорости установившегося движения – движения равномерного.
На рисунке показана предлагаемая зависимость скорости от времени.

Наконец, еще несколько «подсказок».

Количество теплоты , полученное (отданное) телом с площадью поверхности за промежуток времени :

где — разность температур тела и окружающей среды, — коэффициент теплоотдачи, зависящий только от физических свойств контактирующих материалов.
Сила сопротивления воздуха зависит от скорости движения тела и описывается формулой
$с о п р$
где - площадь поперечного сечения тела, - плотность воздуха, - безразмерный коэффициент лобового сопротивления, для тел сферической формы .
Объем шара радиуса равен , площадь его поверхности .
Плотность воздуха $кг м$ , плотность свинца $кг м$ .

2.2 При описании падения «дробинки» с учетом силы сопротивления воздуха, заметим, что ее скорость будет расти с переменным ускорением до некоторого

установившегося значения

, а далее падение будет равномерным.

Для оценки высоты башни в этом случае примем, что характер зависимости скорости дробинки от времени имеет вид, представленный на рис. 21, т.е. состоит из участка равноускоренного движения длиной и участка равномерного движения длиной . Соответственно

где , , — искомое время падения с башни высотой в рамках данной модели. С учетом этого получаем

По условию задачи за время полета капля должна полностью кристаллизоваться. Из уравнения теплового баланса в этом случае имеем

Из (9) найдем связь между высотой башни и описанными параметрами

Как следует из (10), одним из параметров, определяющих высоту башни является скорость установившегося падения капли. Для ее нахождения воспользуемся II законом Ньютона, согласно которому в этом состоянии сила тяжести должна быть равна по модулю силе сопротивления воздуха

Из (11) с учетом того, что масса капли

найдем

Используя выражения (10) - (12), для высоты башни , необходимой для производства «крупной» дроби радиусом , получим

Вычисляя с помощью (12) скорости $м с$ и $м с$ и подставляя полученные значения в (14), окончательно найдем
$м$
Из сравнения (14) и (6) видим, что численное значение для высоты башни стало меньше в случае «равноускоренно-равномерного» движения. Это нисколько не удивительно, т.к. сила сопротивления воздуха создает «парашютный эффект», увеличивая время падения капли с данной высоты (средняя скорость падения уменьшается). Таким образом, капля успевает кристаллизоваться и при падении с меньшей высоты, чем в случае только равноускоренного движения.

В заключение заметим, что выражение (10) не имеет смысла при больших значениях , поскольку при этом высота башни получается отрицательной. Это имеет очевидный физический смысл — в нашей модели высота башни изначально предполагалась достаточной для того, чтобы капля «успела» разогнаться до постоянной скорости . В противном случае будет отсутствовать участок равномерного движения капли. Сформулируем критерий достаточности количественно

← Решение

Режим тренировки Edu

Похожие задачи