Ионный кристалл — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2006 10 класс № 3

Задание 10.3. Решение.

Часть 1. «Ионные радиусы».

Рассмотрим кристалл поваренной соли объемом . Его масса равна

С другой стороны масса кристалла равна

где — число атомов одного и другого сорта в кристалле, кг/моль и кг/моль — молярные массы натрия и хлора соответственно.

Расстояние между ионами равно их диаметру

. Радиус иона

.
На каждый атом приходится объем

Всего в объеме

находится

атомов одного сорта.
Из формул (1), (2), (4) определяем

м

м

Часть 2. «Растворимость»

2.1

2.1 Для расчета энергии взаимодействия иона со всеми остальными выберем систему координат с началом отсчета в центре некоторого иона (для определенности, пусть это будет ион ), а оси системы координат направим вдоль ребер кубической решетки

(кружками на рисунке обозначены центры ионов).

Координаты некоторого иона , где — целые числа, порядковые номера иона по осям соответственно. Расстояние от начала отсчета до иона равно

Заряд иона натрия в начале координат равен (абсолютная величина заряда электрона), его ближайшие соседи с номерами — ионы хлора с зарядом . Далее, ионы с номерами — ионы натрия с зарядом , и т. д. Нетрудно заметить, что ионы, сумма индексов которых нечетное число — это ионы хлора с зарядом , а ионы, сумма индексов которых четное число — это ионы хлора с зарядом . Удобно это записать так: заряд иона

Энергия электростатического взаимодействия двух зарядов и , расстояние между которыми равна

При этом на каждый заряд приходится половина энергии, т.е.

Чтобы найти энергию электростатического взаимодействия, приходящуюся на один ион, надо просуммировать величины

для всех ионов кристалла (кроме иона ), т.е. найти такую сумму
$вз$
где численное значение тройной суммы. Численное значение искомой энергии равно
$вз Д ж э В$

2.2

2.2. В этом пункте задачи мы считаем растворяемый кристалл состоящим из ионов—жестких непроводящих сфер, а растворитель— сплошной диэлектрической жидкой средой, характеризующейся относительной диэлектрической проницаемостью , хотя на самом деле растворитель тоже состоит их отдельных молекул.

Для того, что бы ионный кристалл растворился в жидкости, энергия взаимодействия ионов с растворителем должна быть меньше энергии взаимодействия отдельного иона со всеми остальными в кристалле. Будем считать, что концентрация ионов в растворе мала, так что их электростатическим взаимодействием друг с другом можно пренебречь.

Подчеркнем, что рассчитанная в предыдущем разделе энергия взаимодействия является частью полной энергии электростатического поля. Последняя может быть представлена в идее суммы собственных энергий отдельных ионов (энергия поля, создаваемого уединенным ионом в вакууме)

и рассчитанной энергии взаимодействия (12). Полная энергия электростатического поля иона в растворе находится по формуле

$ж$

Она также равна сумме собственной энергии иона (13) и энергии взаимодействия иона с молекулами растворителя.

Следовательно, для оценки минимальной диэлектрической проницаемости, необходимой для растворения соли можно найти из соотношения

из которого следует

или .

2.3

2.3 Относительная диэлектрическая проницаемость воды , значит, соль в ней будет растворяться. Поскольку энергия иона в воде будет меньше, чем энергия в кристалле, избыток энергии выделится в виде теплоты. При растворении одного иона выделяется теплота . Её мы определим из закона сохранения энергии

$кр вз ж$

Численное значение этой величины равно Дж. В кг поваренной соли содержится $кг к г м о л ь моль$ ионов, поэтому удельная теплота растворения

численно Дж/кг кДж/кг.

Дополнение.

*Позволим себе более подробное объяснение расчета энергии взаимодействия иона с растворителем.

Собственная электростатическая энергия иона в вакууме – это энергия электрического поля. Интеграл от плотности энергии поля по всему пространству дает*

$\text is only supported in math modeW _ { 0 } = \int \frac { \varepsilon _ { 0 } \vec { E } ^ { 2 } } { 2 } d V = \frac { q ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } r } \tag{\text{д}1}$

*что и есть собственная энергия равномерно заряженной сферы.

Интеграл от плотности электрической энергии по всему пространству для двух ионов в вакууме*

$\text is only supported in math mode= \frac { q _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } r } + \frac { q _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } r } + \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { R } = W _ { 1 } + W _ { 2 } + W _ { 1 2 } \tag{\text{д}2}$

*представляет собой сумму собственных энергий каждого из ионов и энергии их взаимодействия. Первые два слагаемых в этой сумме являются постоянными величинами, не зависящими от расстояния между ионами. Поэтому при расчете изменения энергии при изменении расстояния достаточно учитывать только последнее слагаемое.

Аналогично, энергия иона в кристалле будет складываться из его собственной электростатической энергии и энергии взаимодействия со всеми остальными, приходящейся на один ион*

$\text is only supported in math modeW_{\text{кр}} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} + C_1 \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 d} \tag{\text{д}3}$

*Таким образом, полученная формула (12) описывает не полную энергию поля, только ее изменяющуюся часть (энергию взаимодействия).

При расчете изменения энергии при переходе иона в раствор также необходимо учитывать только эту изменяющуюся часть энергии – именно эта часть энергии равна разности между (14) и (13). Выражение для полной энергии поля (14), создаваемого ионом (и поляризационными зарядами!) вычисляется как интеграл по всему пространству от плотности энергии*

$\text is only supported in math modeW_0 = \int \frac{\varepsilon\varepsilon_0 \vec{E}^2}{2} dV = \frac{q^2}{8\pi\varepsilon\varepsilon_0 r} \tag{\text{д}4}$

в раз меньше, чем для иона в вакууме из-за поляризации диэлектрика. Также следует отметить, что мы пренебрегли энергией взаимодействия ионов между собой в растворе, полагая расстояние между ними значительно большим размеров иона.

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи