Нарисуй сечение через оси цилиндров в плоскости. Подумай, как меняется потенциал при малом смещении вдоль оси малого цилиндра и перпендикулярно ей; какие линии на рисунке будут соответствовать постоянному потенциалу?

Запиши, что потенциал внутри малого цилиндра получается как сумма вклада от однородного поля (линейная по координате) и вклада, зависящего от (потенциал от заряженного цилиндра). Воспользуйся стандартными видами этих двух функций потенциала.

1. Выбери систему координат с началом в центре малого цилиндра и обозначь координаты точки .
2. Запиши суммарный потенциал как сумму линейной функции по и функции от .
3. Приведи выражение потенциала к виду, в котором проявляется сумма квадратичного выражения и линейного сдвига (сделай «полное квадратное» преобразование).
4. Из полученного выражения выразите координаты центра эквипотенциальных окружностей и их общий вид (радиусы/уровни) — на этом остановись.

Представь себе, что большие и малые цилиндры — это два параллельно включённых проводника; сначала найди, какой ток течёт по каждому, затем — плотности тока и поле внутри малого цилиндра.

Используй законы Ома/распределения тока для параллельных участков (токи пропорциональны проводимостям), а для магнитного поля — теорему о циркуляции (запиши в общем виде ).

1. Вычисли сопротивления (или проводимости) участков малого и большого цилиндров вдоль длины и разнеси общий ток между ними как в параллельной цепи, получив и .
2. Найди соответствующие плотности тока и .
3. Применяй теорему о циркуляции для однородного тока внутри цилиндра: поле внутри носит вид, пропорциональный (круговое вокруг оси).
4. Вырази вектор магнитной индукции внутри малого цилиндра как суперпозицию постоянного вклада (из смещения осей) и кругового вклада, зависящего от ; вырази из полученной системы.

Подумай, как выглядит сумма круговых линий магнитного поля и добавленного постоянного (смещённого) вклада — как это изменит центр окружностей силовых линий?

Пользуйся тем, что вклад от однородной плотности тока даёт круговые линий вокруг соответствующей оси (векторно ), а добавочный постоянный вклад просто сдвигает результирующую картину.

1. Выбери систему координат с началом на оси малого цилиндра и запиши как сумму постоянного вектора (зависящего от и смещения ) и кругового поля, пропорционального .
2. Проследи, что круговой член даёт концентрические окружности вокруг оси малого цилиндра, а постоянный член сдвигает центр уровней поля.
3. Нарисуй пару примерных линий силы: несколько концентрических окружностей и смещённый набор из-за постоянного вклада; отметь направление вектора (касательное к окружностям).
4. Вырази положение (смещение) центра силовых линий в плоскости через параметры полученного выражения.

Вырежь мысленно сферическую полость в равномерно поляризованном диэлектрике и представь, какие поля действуют внутри этой полости помимо внешнего поля.

Применяй известный результат для равномерно поляризованного шара: внутри сферы дополнительное поле равно ; итоговое поле в полости — сумма внешнего и этого вклада.

1. Запиши, что поле внутри полости равно сумме внешнего поля и поля поляризованного шара .
2. Подставь в это соотношение.
3. Упорядочи выражение, получив .
4. Вырази через известные величины (то есть через и ) из полученной системы.