Напряженность электрического поля внутри однородно заряженного с плотностью цилиндра можно найти по теореме Гаусса.

или в векторной форме

Распределение потенциала внутри цилиндра рассчитаем как

Поле внутри малого цилиндра нетрудно найти при помощи метода наложений, представив его как сумму полей сплошного цилиндра радиуса с плотностью заряда и цилиндра радиуса с плотностью заряда (рис.2).

В произвольной точке А с радиус-вектором относительно оси большего цилиндра и относительно оси малого (рис. 3) поле равно:

т.е. поле внутри меньшего цилиндра представляет собой суперпозицию постоянного поля и поля, линейно зависящего от .

Для дальнейших рассуждений выберем систему координат с началом отсчета на оси малого цилиндра (рис. 4) и выразим в явном виде распределение потенциала внутри малого цилиндра

Распределение потенциала, соответствующее постоянному полю описывается формулой

а распределение потенциала, соответствующее полю, линейно зависящему от радиус-вектора

Таким образом, потенциал внутри малого цилиндра описывается формулой

Очевидно, линии равного потенциала в данном случае — окружности. Действительно, после очевидных математических преобразований функцию (6) можно переписать в следующем виде

откуда видно, что центр эквипотенциальных окружностей находится в точке , которая в нашем случае (поскольку ) будет находиться в точке (рис. 4) — на границе малого цилиндра.

Вид эквипотенциальных линий приведен на рис. 5.

Задача 1.2

Прежде всего, необходимо найти плотность тока в большом и малом цилиндрах, что сводится к решению задачи о параллельном соединении резисторов.

Токи, текущие в большом и малом цилиндрах соответственно равны

Плотность тока в большом и малом цилиндрах соответственно:

Численные расчеты приводят к результатам

Магнитное поле внутри цилиндра, по которому течет ток с плотностью можно найти по теореме о циркуляции вектора магнитной индукции:

Что удобно представить в векторном виде

где — единичный вектор, сонаправленный с вектором .

Магнитное поле внутри малого цилиндра нетрудно найти при помощи метода наложений, представив его как сумму полей сплошного цилиндра радиуса с плотностью протекающего тока и цилиндра радиуса с плотностью протекающего тока (рис.2).

Силовые линии такого поля представляют собой окружности с центром в точке .

Рис. 5

Дополнения.

1. Силовой линией называется такая кривая, касательная к которой в любой точке сонаправлена с полем. Очевидно, что если магнитная индукция перпендикулярна радиус-вектору в любой точке, то силовые линии такого поля – окружности (для любой точки окружности касательная перпендикулярна радиусу, проведенную в данную точку).

Рис. 6

Как раз такая ситуация будет в нашем случае, если начало координат перенести в точку . Вид силовых *линий изображен на рисунке 6.

Для более строгого доказательства рассмотрим* векторное поле (рис. 5). Получим уравнение силовых линий для данного поля.

В каждой точке силовой линии поле направлено по касательной к ней. Т.е. тангенс угла наклона силовой линии к оси абсцисс равен отношению -компоненты поля к -компоненте поля.

Для удобства запоминания данное соотношение лучше записать в таком виде

тем более, что уравнения силовой линии в трехмерном случае выглядят аналогично:

(Обратите внимание, здесь два уравнения, а не одно!)

В данном случае

Это и есть семейство окружностей радиуса .

1. Обратите внимание, насколько эти две задачи похожи!

Задача1.3

Среднее электрическое поле внутри сферы найдем, как поле равномерно поляризованного диэлектрика за вычетом поля, создаваемого равномерно поляризованным шаром (рис.2).

Поле направлено противоположно — это видно из того, что

и

то есть

Интересующее нас поле

Именно это поле воздействует на молекулы внутри сферы в нашей модели и индуцирует в них дипольный момент

Очевидно, что поляризация (дипольный момент единицы объема вещества) равна дипольному моменту одной молекулы, умноженному на число молекул в единице объема, т.е. концентрацию молекул:

Выражения (2) и (6) дают нам следующее равенство:

из которого определяем диэлектрическую проницаемость

Дополнение.

*Полученная формула, конечно, носит приближённый характер, что вытекает из принятых в задаче приближениях. Первое из них – это рассмотрение точечных диполей, что не совсем верно для веществ, состоящих из сложных молекул. Но, в любом случае, такое приближение выглядит вполне приемлемо по сравнению с выбором именно сферической полости. Заметим, что для кристаллов с кубической решёткой данное приближение выполняется точно. Т.е., действительно, поле создаваемое диполями, находящимися внутри сферы, равно нулю в центре этой сферы (без учёта поля диполя, расположенного в центре). Но точно такая же ситуация будет реализовываться если выбрать полость кубической формы. Выбор именно сферы обоснован экспериментальным подтверждением полученной формулы для большинства газообразных и жидких диэлектриков. Например, для сероуглерода формула верна как для газообразного состояния, так и для жидкого, когда концентрация молекул возрастает в 380 раз.

Подчеркнём также, что полученная формула верна только для веществ состоящих из неполярных молекул. В веществах, состоящих из полярных молекул, влияние соседних молекул существенно и приведённый выше подход оказывается верным только для очень разреженных газов.*

{width=10%}