Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.С помощью пращи Давид победил Голиафа! А вам надо рассмотреть динамику этого примитивного, но эффективного устройства.
Для описания движения камня в праще рассмотрим упрощенную схему.
На горизонтальной поверхности расположен твердый сплошной диск радиуса
Диск моделирует вращающуюся руку, а шайба камень в праще.
Во всех пунктах данной задачи рассматривайте только установившийся режим: после некоторого этапа разгона движение шайбы будет происходить с постоянной по модулю скоростью.
Ускорение свободного падения считайте равным
Во всех пунктах задачи желательно получить ответ в виде формулы и только после этого подставлять численные значения параметров. Однако, в тех случаях, когда вам необходимо использовать различные тригонометрические формулы (которые Вы не знаете), рекомендуем по возможности сразу находить численные значения различных углов и затем подставлять их последующие выражения.
1.1 В описанной установке диск вращается, с частотой
Нарисуй схему: центр диска O, точка крепления A, положение шайбы B и нить OA. Обрати внимание, что нить отклоняется от радиуса и шайба движется по окружности радиуса меньше чем 2R.
Запиши проекции второго закона Ньютона для шайбы на радиальное и касательное направления к траектории; в касательном направлении сила трения заменена на силу сопротивления воздуха, пропорциональную скорости. Используй также геометрию треугольника OAB (длина нити = R) для связи радиуса траектории с углом отклонения.
- Обозначь угол между нитью и отрезком OB через
, отметь, что искомый угол и радиус траектории . - Запиши проекции сил: компонент натяжения, дающий центростремительное ускорение
, и касательная компонента натяжения, компенсирующая силу сопротивления ; подставь . - Вырази
через установившуюся скорость падения из уравнения равновесия при падении; подставь это в соотношение между касательной и радиальной проекциями. - Разделив касательное уравнение на радиальное получи выражение для
, затем выразите и по нему и скорость из полученной системы.
1.1 Так как на шайбу действует сила сопротивления воздуха, то веревка должна отклониться от радиального направления на некоторый угол
Силу натяжения нити удобно разложить на две составляющих: радиальную
На основании второго закона Ньютона запишем уравнения движения для этих двух составляющих
Неизвестный параметр
Разделив второе уравнение системы (2) на первое получим формулу для тангенса угла
Подстановка численных значений (с учетом
Следовательно, искомый угол отклонения нити равен
Скорость движения шайбы равна
Заметим, что при таком угле отклонения
1.2 До какой максимальной скорости можно разогнать шайбу в данных условиях, если нить выдерживает максимальную нагрузку
Подумай, при каком условии достигается максимальная частота: когда натяжение нити достигает её предельного значения T_max. Смотри, какие уравнения поменяются при этом.
Используй те же проекции второго закона Ньютона, что в пункте 1.1, подставив вместо T её максимальное значение
- Запиши систему проекций с
: радиальная проекция и касательная (с ). - Подставь
, и выражение для из пункта 1.1, чтобы получить два соотношения, содержащие и . - Сравни два выражения для
(из равновесия с сопротивлением и из уравнения с ) и реши полученное уравнение для максимально допустимой угловой скорости . - Выразите
, а затем максимальную линейную скорость , из полученной системы.
1.2 Максимальная скорость шайбы будет достигнута, когда сила натяжения нити достигнет максимального значения. В этом случае в систему уравнений (4) подставим максимальное значение силы натяжения и формулу (2) для радиуса траектории:
По-прежнему, справедливо (5), кроме того, из второго уравнения этой системы следует, что
Приравнивая эти два выражения для тангенса угла
При этой угловой скорости угол отклонения нити будет еще меньшим, поэтому можно считать, что радиус траектории шайбы равен
2.1 Для определения коэффициента трения шайбы о поверхность шайбе сообщили горизонтально направленную скорость
Диск вращается с постоянной частотой
Представь, что начальная кинетическая энергия шайбы рассеивается работой силы трения до остановки. Нарисуй путь торможения длины S.
Применяй закон сохранения энергии: начальная кинетическая энергия переходит в работу силы трения, равную произведению силы трения на пройденный путь. Можно также использовать кинематические соотношения для равноускоренного (здесь — равнозамедленного) движения для проверки.
- Запиши баланс энергии:
, где . - Сократив массу, получи выражение для коэффициента трения
через известные , и . - Подставь числовые значения только после вывода формулы.
- Выразите
из полученной формулы.
2.1 Коэффициент трения можно найти из уравнения закона сохранения энергии (начальная кинетическая энергия шайбы равна работе силы трения):
Из которого следует
Этот же результат следует и из кинематических соотношений для равнозамедленного движения шайбы.
2.2 Определите модуль скорости установившегося движения шайбы при
2.2 Главное отличие решения данной части задачи от предыдущей - в другом выражении для силы сопротивления, сейчас это постоянная по модулю сила трения. В остальном, решение принципиально не отличается от предыдущего. Рисунок действующих на шайбу сил отличается от рассмотренного ранее только обозначением силы сопротивления. Уравнения второго закона Ньютона шайбы в прежних проекциях будут иметь вид
Здесь
Теперь из второго уравнения системы (15) найдем значение угла
Подстановка численных значений приводит к следующему значению угла
Следовательно, скорость шайбы будет равна
Можно, конечно, подставить в формулу выражения для косинуса (выразив его через синус):
2.3 Определите модуль скорости установившегося движения шайбы при
2.3 Расчет угла
Этот угол превышает
Это приведет к иному решению. Рисунок
действующих сил и расстояний в этом случае имеет иной вид. Система уравнений (15) остается неизменной, но формула для радиуса траектории (2) в данном случае неприменима.
Из системы уравнений (15) выразим тангенс угла
И приравняем его к выражению, следующему из прямоугольного (в данном случае) треугольника
Из полученного уравнения можно определить радиус траектории
Отметим, что формулы для радиусов траектории (23) и (2) стыкуются при
При заданном значении частоты вращения
Соответственно, скорость шайбы равна
2.4 Определите модуль скорости установившегося движения шайбы при
2.4 Если не заметить «подвоха» в пункте 2.3 и упрямо подставлять значения частоты вращения в формулу (17), то при заданном значении угловой скорости получим абсурдный результат:
Фактически этот пункт задачи является «подсказкой» и к предыдущему пункту. Поэтому расчет следует вести по формулам (23) –(24):
Похожие задачи
Простая задача про простые механизмы
Когда великий Архимед открыл правило рычага, он воскликнул: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!».
И не случайно – еще в античные времена это …
Лихо закручено
Справочные данные и параметры рассматриваемых систем:* трением и сопротивлением воздуха в данном задании пренебречь, ускорение свободного падения …
У Р Б П ≈4/5 Э3
Скатывание без проскальзывания
Существует множество задач, в которых брусок движется по наклонной плоскости при наличии трения. В зависимости от коэффициента трения и угла наклона …
У Р Б П ≈4/5 Т1
Алгебра и геометрия на наклонной плоскости
Кто-то умеет хорошо строить диаграммы векторов сил и предпочитает решать динамические задачи «геометрически». Кто-то рисовать совсем не умеет, и ему …
У Р Б П ≈4/5 Т2
Миг невесомости
Рассмотрим механическую систему, образованную из тонкого гладкого проволочного кольца массой
Неоднородное гравитационное полевар. 2
Сила гравитационного взаимодействия зависит от расстояния между взаимодействующими телами. Поэтому гравитационные поля, в общем случае, являются …
У Р Б П ≈3/5