1.1 Так как на шайбу действует сила сопротивления воздуха, то веревка должна отклониться от радиального направления на некоторый угол . В этом случае шайба будет двигаться по окружности некоторого радиуса (отрезок ), а ее вектор скорости направлен перпендикулярно этому отрезку. Обозначим угол между нитью и отрезком . Так как длина нити равна радиусу диска, треугольник является равнобедренным. Поэтому


Силу натяжения нити удобно разложить на две составляющих: радиальную (сообщающую шайбе центростремительное ускорение) и касательную к траектории (которая компенсирует силу сопротивления воздуха).
На основании второго закона Ньютона запишем уравнения движения для этих двух составляющих

Неизвестный параметр можно определить из известной скорости установившегося падения шайбы (в этом режиме сила тяжести уравновешивается силой сопротивления воздуха):

Разделив второе уравнение системы (2) на первое получим формулу для тангенса угла

Подстановка численных значений (с учетом ) приводит к результату

Следовательно, искомый угол отклонения нити равен

Скорость движения шайбы равна

Заметим, что при таком угле отклонения , что в пределах точности исходных данных совпадает с удвоенным радиусом диска. То есть при таком угле для расчета скорости шайбы можно пренебречь отклонением нити от радиального направления.

1.2 Максимальная скорость шайбы будет достигнута, когда сила натяжения нити достигнет максимального значения. В этом случае в систему уравнений (4) подставим максимальное значение силы натяжения и формулу (2) для радиуса траектории:

По-прежнему, справедливо (5), кроме того, из второго уравнения этой системы следует, что

Приравнивая эти два выражения для тангенса угла , получим формулу для максимальной угловой скорости вращения диска

При этой угловой скорости угол отклонения нити будет еще меньшим, поэтому можно считать, что радиус траектории шайбы равен . Следовательно, максимально возможная скорость шайбы равна

2.1 Коэффициент трения можно найти из уравнения закона сохранения энергии (начальная кинетическая энергия шайбы равна работе силы трения):

Из которого следует

Этот же результат следует и из кинематических соотношений для равнозамедленного движения шайбы.

2.2 Главное отличие решения данной части задачи от предыдущей - в другом выражении для силы сопротивления, сейчас это постоянная по модулю сила трения. В остальном, решение принципиально не отличается от предыдущего. Рисунок действующих на шайбу сил отличается от рассмотренного ранее только обозначением силы сопротивления. Уравнения второго закона Ньютона шайбы в прежних проекциях будут иметь вид

Здесь - сила трения, действующая на шайбу. Подставляя выражение (2) для радиуса траектории в первое уравнение этой системы, получим формулу для силы натяжения нити

Теперь из второго уравнения системы (15) найдем значение угла

Подстановка численных значений приводит к следующему значению угла .

Следовательно, скорость шайбы будет равна

Можно, конечно, подставить в формулу выражения для косинуса (выразив его через синус):

2.3 Расчет угла при приводит к результату

Этот угол превышает , а угол отклонения нити становится больше ! Чего быть не может – следовательно, нить будет частично намотана на диск.

Это приведет к иному решению. Рисунок

действующих сил и расстояний в этом случае имеет иной вид. Система уравнений (15) остается неизменной, но формула для радиуса траектории (2) в данном случае неприменима.

Из системы уравнений (15) выразим тангенс угла

И приравняем его к выражению, следующему из прямоугольного (в данном случае) треугольника

Из полученного уравнения можно определить радиус траектории

Отметим, что формулы для радиусов траектории (23) и (2) стыкуются при . В этом случае и тогда из формулы (23) следует, что

При заданном значении частоты вращения радиус траектории равен

Соответственно, скорость шайбы равна

2.4 Если не заметить «подвоха» в пункте 2.3 и упрямо подставлять значения частоты вращения в формулу (17), то при заданном значении угловой скорости получим абсурдный результат:

Фактически этот пункт задачи является «подсказкой» и к предыдущему пункту. Поэтому расчет следует вести по формулам (23) –(24):