Равноускоренные колебания — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2015 9 класс № 3

Хорошо известна задача о движении грузов на нити, переброшенной через блок.
Уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов (с учетом равенства модулей ускорений и равенства модулей сил натяжения нитей) имеют вид

Из этой системы следует формула для ускорения грузов (положительное направление ускорения указано на рисунке)

Способ решения 1. Чисто кинематический.
Последовательно рассмотрим все этапы движения системы, описанной в условии задачи.
При движении вниз между уровнями

ускорение грузов в соответствии с полученной формулой (2) равно

м с см с

Когда правый груз пройдет расстояние

, его скорость находится из формулы

Если малый груз снят, то ускорение системы равно

м с см с

Дальнейшее движение будет происходить с отрицательным ускорением, путь, который пройдет до остановки, и минимальная координата находится по формулам

Остальные формулы для расчета характерных точек находятся аналогично. Для удобства численных расчетов все формулы сведены в единую таблицу. В таблице модуль ускорения обозначен

см с

, в строках скоростей и ускорений приведены их проекции на вертикальную ось

Таблица 1. Кинематический расчет закона движения**

	Параметр	Формула
Движение вниз между уровнями $АВ$	Начальная скорость
	Ускорение
	Конечная скорость
	Конечная координата
	Время движения

Движение вниз от уровня до нижней точки	Начальная скорость
	Ускорение
	Конечная скорость
	Конечная координата
	Время движения
Движение вверх от нижней точки до уровня	Начальная скорость
	ускорение
	Конечная координата
	Конечная скорость
	Время движения
Движение вверх между уровнями $АВ$	Начальная скорость
	Ускорение
	Конечная координата
	Конечная скорость
	Время движения
Движение от вверх от уровня до верхней точки	Начальная скорость
	Ускорение
	Конечная скорость
	Конечная координата
	Время движения
Движение вниз от верхней точки до уровня	Начальная скорость
	Ускорение
	Конечная скорость
	Конечная координата
	Время движения

Результаты необходимых численных расчетов приведены в таблице 2. (координаты в см, время в с)

Таблица 2. Расчет закона движения



0,0	0,00	0,0	7,90	0,0	18,08	0,0	30,50	0,0	44,83
-4,0	1,26	-4,0	8,30	-4,0	18,38	-4,0	30,75	-4,0	45,05
-8,0	2,53	-16,0	10,49	-24,0	21,21	-32,0	34,10	-40,0	48,84
-4,0	3,79	-4,0	12,68	-4,0	24,03	-4,0	37,44	-4,0	52,64
0,0	4,32	0,0	13,02	0,0	24,30	0,0	37,67	0,0	52,84
8,0	6,11	16,0	15,55	24,0	27,40	32,0	41,25	40,0	56,84

График рассчитанной зависимости показан на рисунке.

Проведенные расчеты показывают, зависимости минимального и максимального смещения от номера цикла имеют простой вид
$с м с м$

Способ решения 2. «Энергетически-кинематический»

Полученные соотношения слишком просты, чтобы быть случайными – поэтому возможен второй, более «быстрый» способ решения, основанный не только на кинематических формулах. Заметим, что система получает дополнительную энергию при движении вниз с грузом .

Рассмотрим изменение энергии системы между крайними точками, в которых скорости грузов равны нулю.
а) Опускание: груз движется от крайнего верхнего положения до следующего крайнего нижнего положения . На этом этапе груз опустился на высоту (от уровня до уровня ). Начальные и конечные положения всех грузов показаны на рисунке. Поэтому уравнение закона сохранения энергии имеет вид

из которого следует (с учетом численных значений масс грузов):

Б) Подъем: груз

поднимается от крайнего нижнего положения

до следующего крайнего верхнего положения

. Учитывая, что груз

кладут на уровне

, изобразим начальные и конечные положения грузов и запишем уравнение закона сохранения энергии в этом случае

из которого находим (опять с учетом масс грузов)

Полученные формулы сразу приводят к полученным ранее формулам (7). Далее традиционным способом находим ускорения грузов при движении с грузом

(

см

) и без него (

см

Далее отмечаем, что движение без дополнительного груза происходит на участках , а движение с дополнительным грузом на участках . Так как модули ускорений на этих участках одинаковы и максимальные смещения также одинаковы, то графики законов движения (параболы) на этих участках тоже одинаковы, только перевернуты. Эти рассуждения позволяют заметно сократить расчеты, начиная каждый цикл с момента прохождения вниз уровня . Сначала следует «подойти» к началу первого цикла: рассчитать время первого прохождения точки по формуле $с$ . После этого рассчитать максимальное смещение

груза в цикле по формуле (см), а также три интервала времени прохождения соответствующих отрезков (они показаны на рисунке) по формулам

После чего вычисления времен прохождения каждой характерной точки рассчитываются простым суммированием (для удобства схема расчета сведена в таблицу 3.

Таблица 3. Схема расчета времен характерных точек.