Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.На дне узкого вертикального цилиндрического стеклянного сосуда высотой
Задача 10-2 «Закон Ома» для теплопередачи
Все материалы способны проводить тепло, но по-разному! В данной задаче вам предстоит рассчитать теплофизические характеристики некоторых материалов. Закон теплопроводности полностью совпадает с законом Ома для участка цепи. Он был сформулирован французским физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1807 году.
Коэффициент
Замените в этой формуле температуру на электрический потенциал, поток теплоты на силу тока, коэффициент теплопроводности на удельную электрическую проводимость и... перед вами закон Ома.
Формула (1) справедлива, если коэффициент теплопроводности является постоянной величиной, если нет – разбивайте пластину на тонкие слои... и для каждого слоя пишите отдельные уравнения. Впрочем, удельное сопротивление также может изменяться, например, если проводник разогревается.
Во всех частях данной задачи мы будем рассматривать пластины одинаковых размеров
нас он интересоват не будет, основное внимание уделяется стационарному распределению температур и тепловым потокам в стационарном режиме.
1.1 Рассчитайте потоки теплоты через каждую пластину в установившемся режиме
В установившемся режиме температура в каждой металлической пластине не зависит от времени и меняется равномерно по толщине — градиент постоянен. Нарисуй продольный срез и подумай, как связаны поток тепла и уклон температурной прямой.
Применяй закон теплопроводности в стационарном режиме: поток через однородную пластину равен произведению теплопроводности на площадь и на разность температур, делённую на толщину пластины.
- Запиши для каждой пластины
, где , и заданы. - Подставь в эту формулу для серебра значение
и для свинца . - Вычисли символически выражения для
и и затем подставь численные величины. - Вырази
и из полученной формулы.
1.1 В описании Ш. Кулона приведена масса нити
Из этой формулы легко выразить диаметр нити:
При численных расчетах следует все параметры выразить в единицах системы СИ кг 4m16− d===,255⋅105м (3) πρLкг− Agπ⋅105,⋅103⋅28⋅,2707⋅102м м:
Менее трех сотых миллиметра!
1.2 Рассчитайте количество теплоты, которое пошло на нагревание каждой пластины
Теперь соединим обе пластины. Сначала с холодной стороны находится свинцовая пластина (а серебряная с теплой), потом наоборот.
При переходе от начальной равномерной температуры до стационарного распределения пластины поглотили определённое количество теплоты. Подумай, от чего зависит это количество.
Используй связь количества теплоты с теплоёмкостью: теплота, идущая на нагрев пластины, равна массе пластины, умноженной на её удельную теплоёмкость и приращение температуры.
- Вырази массу пластины как
для каждой из двух металлов. - Запиши
с (\Delta T = T_{средн,установившегося}-T_0). Для однослойной пластины при постоянном градиенте средняя температура между границами равна арифметическому среднему, так что приращение температуры пластины равно . - Подставь массу и удельную теплоёмкость каждого металла и вычисли символические выражения для
и . - Вырази
и из полученной системы.
1.2 Модуль кручения определяется по формуле
Подстановка численных значений с переводом в систему СИ дает следующее значение
2. Фундаментальный закон электричества.
1.3 Рассчитайте потоки теплоты в установившемся режиме
В составной пластины два слоя лежат последовательно по потоку тепла — через обе пластины проходит один и тот же стационарный поток. Обозначь интерфейс и направление теплового потока.
Сведи задачу к сумме тепловых сопротивлений: для слоя сопротивление равно
- Для каждой пластины в составе выпиши её тепловое сопротивление
. - Запиши суммарное сопротивление
для данной компоновки. - Вырази поток через систему как
— он одинаков для обоих слоёв. - Вырази
(и аналогично для обратной компоновки) из полученной формулы.
1.4 Выразите значения
1.5 Рассчитайте количества теплоты
При установлении стационарного профиля каждая из двух пластин прогреется до своего стационарного распределения. Теплота, ушедшая на прогрев, равна интегралу от локального приращения температуры по объёму.
Воспользуйся формулой для внутренней энергии:
- Определи граничные температуры для каждого слоя (для компоновки «Pb–Ag» и «Ag–Pb»), исходя из того, что поток постоянен и через каждый слой падение температуры пропорционально его сопротивлению.
- Запиши в каждом слое линейный профиль
между соответствующими границами. - Вычисли
для каждой пластины — интеграл по толщине слоя. - Вырази
и через известные величины (плотности, , геометрию и найденные падения температур).
1.6 Постройте графики зависимости температуры внутри пластин от координаты (на одном бланке.
В стационарном состоянии профиль температуры по координате в составной пластине — кусочно-линейная функция с разрывов по наклону в интерфейсе. Отметь координатную ось и границы слоёв.
Наклон в каждом слое связан с потоком через слой:
- Поставь ось x от холодной границы до горячей, отметь толщины слоёв и точку интерфейса.
- Вычисли наклоны
в каждом слое через найденные значения и соответствующие . - Проведи в каждом слое прямую с этими наклонами, обеспечив непрерывность температуры в интерфейсе.
- Изобрази на одном графике обе компоновки; наклоны выражены через
и .
1.1 Определите по приведенным данным диаметр нити подвеса. Плотность серебра
В установившемся режиме температура в каждой металлической пластине не зависит от времени и меняется равномерно по толщине — градиент постоянен. Нарисуй продольный срез и подумай, как связаны поток тепла и уклон температурной прямой.
Применяй закон теплопроводности в стационарном режиме: поток через однородную пластину равен произведению теплопроводности на площадь и на разность температур, делённую на толщину пластины.
- Запиши для каждой пластины
, где , и заданы. - Подставь в эту формулу для серебра значение
и для свинца . - Вычисли символически выражения для
и и затем подставь численные величины. - Вырази
и из полученной формулы.
1.1 В описании Ш. Кулона приведена масса нити
Из этой формулы легко выразить диаметр нити:
При численных расчетах следует все параметры выразить в единицах системы СИ кг 4m16− d===,255⋅105м (3) πρLкг− Agπ⋅105,⋅103⋅28⋅,2707⋅102м м:
Менее трех сотых миллиметра!
1.2 Рассчитайте модуль кручения нити
При переходе от начальной равномерной температуры до стационарного распределения пластины поглотили определённое количество теплоты. Подумай, от чего зависит это количество.
Используй связь количества теплоты с теплоёмкостью: теплота, идущая на нагрев пластины, равна массе пластины, умноженной на её удельную теплоёмкость и приращение температуры.
- Вырази массу пластины как
для каждой из двух металлов. - Запиши
с (\Delta T = T_{средн,установившегося}-T_0). Для однослойной пластины при постоянном градиенте средняя температура между границами равна арифметическому среднему, так что приращение температуры пластины равно . - Подставь массу и удельную теплоёмкость каждого металла и вычисли символические выражения для
и . - Вырази
и из полученной системы.
1.2 Модуль кручения определяется по формуле
Подстановка численных значений с переводом в систему СИ дает следующее значение
2. Фундаментальный закон электричества.
2.1 Длина свободного пробега молекул зависит от эффективного диаметра молекулы
Чем больше концентрация молекул и чем больше эффективная «площадь» столкновения, тем меньше средняя длина свободного пробега до столкновения. Представь молекулу как шарик с эффективным сечением столкновения.
Для разрежённого газа средняя длина свободного пробега определяется обратной пропорциональностью произведению концентрации молекул и эффективного сечения столкновения:
- Запиши эффективное сечение столкновения через диаметр:
. - Используй общую форму
и подставь . - Получишь окончательное выражение
— вырази длину пробега через и .
2.1 Решение этой части задачи начнем с цитаты из использованного мемуара: «Расстояние между двумя шариками, когда они удалены друг от друга действием взаимного отталкивания, измеряется в точности не углом, который они образуют, а хордой дуги, которая соединяет их центры. Так же и плечо в крайнем положении, где проявляется действие, измеряется не половиной длины дуги, или радиусом, а косинусом половины угла...»
Воспользуемся подсказкой самого Шарля Кулона, рассмотрим условия равновесия коромысла крутильных весов. На рисунке показана геометрия опыта и направление силы взаимодействия между шариками
Плечо силы взаимодействия
Угол закручивания нити
Условие равновесия коромысла весов имеет вид
Следовательно, сила взаимодействия может быть рассчитана по формуле
Расстояние между шариками рассчитывается по формуле (6). Результаты расчетов по этим формулам приведены в Таблице (1). График этой функции показан на рисунке.
Таблица 1. Расчет сил и расстояний.
| N | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 36 | 0 | 49,1 | 66,9 |
| 2 | 18 | 126 | 189,3 | 33,9 |
| 3 | 8,5 | 567 | 749,3 | 16,0 |
2.2 Коэффициент теплопроводности пропорционален абсолютной температуре в некоторой степени
Независимо от полученного вами результата далее считайте, что теплопроводность воздуха прямо пропорциональна абсолютной температуре, т.е.
Итак, одна сторона воздушного слоя имеет температуру
Подумай, как зависят в формуле (2) средняя скорость молекул, длина пробега и плотность от абсолютной температуры при фиксированном давлении.
Используй кинетическую оценку:
- Положи
, (так как при постоянном давлении) и . - Подставь в
и сократи зависимости по . - Получишь
при постоянном давлении, то есть степень при равна . (В задаче далее по соглашению берут .)
2.2 Для доказательства закона Кулона
Действительно, коэффициент наклона в логарифмической зависимости примерно равен -1,9, что с учетом неизбежных погрешностей измерений можно принять равным -2.
Также видно. что зависимость
2.3 Рассчитайте поток теплоты через воздушный слой
2.3 В системе СИ закон Кулона имеет вид
С помощью этой формулы можно вычислить заряды шариков. Для повышения точности следует провести усреднение по трем результатам измерений. Один из возможных вариантов такого усреднения – использование зависимости
Откуда следует, что
- Утечка заряда.
Понятно, что уменьшение угла отклонения связано с утечкой зарядов с шариков. Поэтому в данной части задачи необходимо найти ответы на два вопроса: первый, как зависит заряд шарика от времени; второй – как связано изменение угла отклонения с изменением заряда.
Можно считать, что шарик находится в однородной слабопроводящей среде, а электрический ток протекает от шарика до бесконечности.
В этом случае разность потенциалов равна потенциалу шарика
Здесь обозначено
Для расчета сопротивления среды ее следует разделить на тонкие сферические слои. Сопротивление отдельного слоя радиуса
Так как радиально растекающийся ток протекает последовательно через слои, то общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех слоев
Для выполнения суммирования (точнее интегрирования) можно сослаться на традиционный способ вычисления потенциала поля, создаваемого точечным источником – здесь сумма имеет тот же вид, поэтому
Таким образом, находим, что сила тока утечки равна
Примечание. Этот же результат можно получить более изящным способом, используя теорему Гаусса. Мысленно окружим один из шариков произвольной замкнутой поверхностью
Поток вектора напряженности поля определяется теоремой Гаусса
Рассмотрим теперь, как связано угла смещения шарика с изменением зарядов на шариках. Сила взаимодействия выражается через угол смещения
где
Численный расчет относительного изменения заряда (при
Примечание. Для оценки можно приближенно считать, что расстояние между шариками равно длине дуги между ними
Тогда проводя аналогичные (20) преобразования, получим
Теперь вернемся к формуле (18), из которой можно выразить искомое удельное сопротивление воздуха
2.4 Нарисуйте схематический график зависимости температуры воздуха от координаты в установившемся режиме. (Здесь вам нет необходимости получать точную формулу, и даже вид зависимости).
При постоянной теплопроводности профиль температуры по координате будет прямой; если же теплопроводность зависит от T, профиль искривлён. Нам нужен простой набросок.
Отметь на оси слева
- Поставь координаты 0 и h на горизонтальной оси, температуры
и на вертикальной. - Проведи прямую линию между точками для случая постоянной
. - Отметь схематически, как изменится кривая при
(кривая, более пологая в горячей части). - Подпиши оси и укажи, какой график соответствует постоянной и какой — температурно-зависимой
.
2.5 Рассчитайте поток теплоты через воздушный слой, учитывая зависимость коэффициента теплопроводности от температуры.
2.6 Рассчитайте количество теплоты, которое пошло на нагревание воздуха от начальной температуры до установившегося распределения температур, при условии, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры.
Задача 10-3 Опыты Ш. Кулона
Эта задача составлена по данным, приведенным в работе Ш. Кулона «Первый мемуар по электричеству и магнетизму. Конструкция и применение электрических весов, основанных на свойстве металлических нитей иметь силу реакции при кручении, пропорциональную углу кручения», представленной в виде доклада на заседании в Королевской академии наук в 1785 году и опубликованной в 1788 году4. Цитаты из этого сочинения выделены курсивом.
В задаче приводятся численные данные в системе единиц, принятой во Франции в конце XVIII века. Вы же должны приводить численные ответы в системе СИ.
Для перевода единиц используйте следующие данные:
1 дюйм (французский) = 2,707 см;
1 линия = 1/12 дюйма;
1 фут = 12 дюймов;
1 гран (единица массы и силы
Ускорение свободного падения считайте равным
Схема установки (крутильных весов) Ш. Кулона широко известна и показана на рисунке. Основными деталями весов являются:
2 – тонкая серебряная нить, к нижнему концу которой прикреплено коромысло с шариком и противовесом, в положении равновесия коромысло располагается горизонтально; расстояние от центра шарика до точки подвеса (плечо коромысла) равно
верхний конец нити прикреплен к угловому микрометру 6. Указатель микрометра можно вращать и измерять угол закручивания;
второй шарик из бузины 7 закрепляется неподвижно. Вся система помещена в стеклянный цилиндрический сосуд, на боковой поверхности которого расположена угломерная шкала, позволяющая измерять угол поворота коромысла. Шарикам 4 (на подвижном коромысле) и 7 (на неподвижном креплении) можно сообщать электрический заряд с помощью металлического шарика 8 на отдельной ручке. В состоянии равновесия (при отсутствии зарядов на шариках) коромысло располагается так, что шарики касаются друг друга, нить подвеса при этом не закручена, указатель углового микрометра установлен на нуль.
4 Перевод работы опубликован в книге Голин Г.М., Филонович С.Р. Классики физической науки (с древнейших времен до начала XX века): Справ. пособие. – М.: Высш. школа., 1989 г
Измерения проводились следующим образом. Шарикам 4 и 7 сообщают электрические заряды и приводят их в соприкосновение (при этом их электрические заряды выравниваются). Коромысло поворачивается (угол поворота обозначен
Количество теплоты, ушедшее на прогрев воздуха, равно интегралу по объёму удельной теплоёмкости на локальную приращённую температуру с учётом вариации плотности воздуха.
Используй уравнение состояния идеального газа для связи плотности с температурой при постоянном объёме коробки (масса постоянна, но при стационарном распределении давления можно считать постоянным), и интегрируй
- Запиши массу на единицу объёма через закон идеального газа:
(или пропорционально ), где — заданное давление. - Подставь в
выражение для и для , найденного при (см. п.2.5: профиль через квадраты температур). - Выполни интегрирование по x, используя замену переменных через T и указанную математическую подсказку при необходимости.
- Вырази окончательное значение
через заданные величины (P_0, c_V, S, h, T_0, T_1 и постоянную в ).
2.1 Используя приведенные данные, постройте график зависимости силы взаимодействия между шариками от расстояния между ними.
Не забудьте подписать и оцифровать оси координат.
Чем больше концентрация молекул и чем больше эффективная «площадь» столкновения, тем меньше средняя длина свободного пробега до столкновения. Представь молекулу как шарик с эффективным сечением столкновения.
Для разрежённого газа средняя длина свободного пробега определяется обратной пропорциональностью произведению концентрации молекул и эффективного сечения столкновения:
- Запиши эффективное сечение столкновения через диаметр:
. - Используй общую форму
и подставь . - Получишь окончательное выражение
— вырази длину пробега через и .
2.1 Решение этой части задачи начнем с цитаты из использованного мемуара: «Расстояние между двумя шариками, когда они удалены друг от друга действием взаимного отталкивания, измеряется в точности не углом, который они образуют, а хордой дуги, которая соединяет их центры. Так же и плечо в крайнем положении, где проявляется действие, измеряется не половиной длины дуги, или радиусом, а косинусом половины угла...»
Воспользуемся подсказкой самого Шарля Кулона, рассмотрим условия равновесия коромысла крутильных весов. На рисунке показана геометрия опыта и направление силы взаимодействия между шариками
Плечо силы взаимодействия
Угол закручивания нити
Условие равновесия коромысла весов имеет вид
Следовательно, сила взаимодействия может быть рассчитана по формуле
Расстояние между шариками рассчитывается по формуле (6). Результаты расчетов по этим формулам приведены в Таблице (1). График этой функции показан на рисунке.
Таблица 1. Расчет сил и расстояний.
| N | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 36 | 0 | 49,1 | 66,9 |
| 2 | 18 | 126 | 189,3 | 33,9 |
| 3 | 8,5 | 567 | 749,3 | 16,0 |
2.2 Покажите, что результаты эксперимента подтверждают зависимость силы электрического взаимодействия от расстояния, которая ныне называется законом Кулона.
Подумай, как зависят в формуле (2) средняя скорость молекул, длина пробега и плотность от абсолютной температуры при фиксированном давлении.
Используй кинетическую оценку:
- Положи
, (так как при постоянном давлении) и . - Подставь в
и сократи зависимости по . - Получишь
при постоянном давлении, то есть степень при равна . (В задаче далее по соглашению берут .)
2.2 Для доказательства закона Кулона
Действительно, коэффициент наклона в логарифмической зависимости примерно равен -1,9, что с учетом неизбежных погрешностей измерений можно принять равным -2.
Также видно. что зависимость
2.3 Рассчитайте величины зарядов шариков в данном эксперименте. Постарайтесь, чтобы погрешность результата была минимальной.
2.3 В системе СИ закон Кулона имеет вид
С помощью этой формулы можно вычислить заряды шариков. Для повышения точности следует провести усреднение по трем результатам измерений. Один из возможных вариантов такого усреднения – использование зависимости
Откуда следует, что
- Утечка заряда.
Понятно, что уменьшение угла отклонения связано с утечкой зарядов с шариков. Поэтому в данной части задачи необходимо найти ответы на два вопроса: первый, как зависит заряд шарика от времени; второй – как связано изменение угла отклонения с изменением заряда.
Можно считать, что шарик находится в однородной слабопроводящей среде, а электрический ток протекает от шарика до бесконечности.
В этом случае разность потенциалов равна потенциалу шарика
Здесь обозначено
Для расчета сопротивления среды ее следует разделить на тонкие сферические слои. Сопротивление отдельного слоя радиуса
Так как радиально растекающийся ток протекает последовательно через слои, то общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех слоев
Для выполнения суммирования (точнее интегрирования) можно сослаться на традиционный способ вычисления потенциала поля, создаваемого точечным источником – здесь сумма имеет тот же вид, поэтому
Таким образом, находим, что сила тока утечки равна
Примечание. Этот же результат можно получить более изящным способом, используя теорему Гаусса. Мысленно окружим один из шариков произвольной замкнутой поверхностью
Поток вектора напряженности поля определяется теоремой Гаусса
Рассмотрим теперь, как связано угла смещения шарика с изменением зарядов на шариках. Сила взаимодействия выражается через угол смещения
где
Численный расчет относительного изменения заряда (при
Примечание. Для оценки можно приближенно считать, что расстояние между шариками равно длине дуги между ними
Тогда проводя аналогичные (20) преобразования, получим
Теперь вернемся к формуле (18), из которой можно выразить искомое удельное сопротивление воздуха
3.1 Оцените удельное сопротивление воздуха в день проведения эксперимента.
Малое смыкание угла в результате течи заряда соответствует небольшому относительному изменению силы отталкивания, а значит — изменению квадрата заряда. Свяжи малое изменение угла с изменением заряда за малый промежуток времени.
Модель: заряд убывает экспоненциально в проводящей среде с сопротивлением R окружающей среды,
- Запиши равновесие для маленького смещения: изменение силы
связано с изменением суммарного угла и модулем кручения; для малых изменений линеризуй связь между и (используя формулу равновесия из решения Кулона). - Свяжи относительную скорость убывания квадрата заряда с наблюдаемой скоростью смыкания угла:
(изменение по времени). - Предположи экспоненциальный спад заряда с характеристическим временем
и вырази R через наблюдаемую скорость убывания угла за 3 минуты. - Используя модель сферического растекания тока, запиши
и вырази удельное сопротивление воздуха из найденного R.
Примечания
- 4. Перевод работы опубликован в книге Голин Г.М., Филонович С.Р. Классики физической науки (с древнейших времен до начала XX века): Справ. пособие. – М.: Высш. школа., 1989 г 5 Для перевода в единицы силы массу следует умножить на ускорение свободного падения. ↩
Похожие задачи
Задача 11-3
С развитием технологий появляются все новые материалы с удивительными свойствами. Два таких метаматериала рассматриваются в данной задаче.
У Р Б П ≈5/5 Т2
Слоистые резисторы
Современные нанотехнологии позволяют создавать синтетические материалы с заданными физическими свойствами. Рассмотрим слоистый резистор в форме …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Бареттер
В данной задаче вам предстоит рассмотреть модель бареттера — электронного устройства, используемого для стабилизации тока. Рассматриваемый бареттер …
У Р Б П ≈5/5 Т1
Как Уильям Томсон стал лордом Кельвином
Задание состоит из 4 логично связанных между собой задач.
Уильям Томсон (1824 – 1907) – британский физик и инженер, известен своими работами в …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Задача 10-2
Задача 10-2 «Смещение и затухание»*
Небольшой шарик массой
Полупроводник
В данном задании вам предстоит теоретически описать электрическую проводимость чистого (без примесей) полупроводника и ее зависимость от температуры …
У Р Б П ≈5/5